Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

#1

Ας δούμε 4 σχετικά εύκολα προβλήματα καθετότητας σε συμμετροδιάμεσο τριγώνου. (Η επιλογή του φακέλου οφείλεται στην συμμετροδιάμεσο και όχι στη "δυσκολία" των προβλημάτων)

: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png (7.97 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

1) Έστω οι ορθές προβολές του μέσου της στις πλευρές αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $AD\bot KL$ όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου

: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 2.png (9.52 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

2) Έστω το συμμετρικό του ως προς το και το σημείο τομής των καθέτων στην στα σημεία αντίστοιχα σε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ . Να δείξετε ότι $AE\bot AD$ , όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου

: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png (10.44 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

3) Έστω τα σημεία τομής των καθέτων από τα στις κάθετες επί των στην κορυφή τριγώνου $\vartriangle ABC$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $AD\bot EF$ , όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου

: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 1090 φορές

4) Έστω $\vartriangle ABC$ περιγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ , κέντρου και η συμμετροδιάμεσός του. Αν είναι το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι $AD\bot OX$

Παρατήρηση: Θα μπορούσα βέβαια να τις κάνω 4 δημοσιεύσεις μήπως και φτάσω τον KARKAR στις δημοσιεύσεις

αλλά μάλλον αυτό αποκλείεται εκτός αν καταφέρω και γίνω Αντώνης Κυριακόπουλος ή Γιάννης Κερασαρίδης (όχι βέβαια στις γνώσεις γιατί και αυτό αποκλείεται αλλά στον δυναμισμό να γράφω μέχρι τα βαθιά γεράματα !). Τους ευχαριστώ θερμά και τους δύο και υποκλίνομαι ταπεινά για όσα έχουν προσφέρει στα Μαθηματικά !!!
Στην καλύτερή μου να βάλω 3 παλαμάκια για να "ισοφαρίσω"

Ας κάνουμε και λίγο χιούμορ

STOPJOHN · #2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm
Ας δούμε 4 σχετικά εύκολα προβλήματα καθετότητας σε συμμετροδιάμεσο τριγώνου. (Η επιλογή του φακέλου οφείλεται στην συμμετροδιάμεσο και όχι στη "δυσκολία" των προβλημάτων)

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png
1) Έστω οι ορθές προβολές του μέσου της στις πλευρές αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $AD\bot KL$ όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 2.png
2) Έστω το συμμετρικό του ως προς το και το σημείο τομής των καθέτων στην στα σημεία αντίστοιχα σε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ . Να δείξετε ότι $AE\bot AD$ , όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png
3) Έστω τα σημεία τομής των καθέτων από τα στις κάθετες επί των στην κορυφή τριγώνου $\vartriangle ABC$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $AD\bot EF$ , όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png
4) Έστω $\vartriangle ABC$ περιγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ , κέντρου και η συμμετροδιάμεσός του. Αν είναι το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι $AD\bot OX$

Παρατήρηση: Θα μπορούσα βέβαια να τις κάνω 4 δημοσιεύσεις μήπως και φτάσω τον KARKAR στις δημοσιεύσεις αλλά μάλλον αυτό αποκλείεται εκτός αν καταφέρω και γίνω Αντώνης Κυριακόπουλος ή Γιάννης Κερασαρίδης (όχι βέβαια στις γνώσεις γιατί και αυτό αποκλείεται αλλά στον δυναμισμό να γράφω μέχρι τα βαθιά γεράματα !). Τους ευχαριστώ θερμά και τους δύο και υποκλίνομαι ταπεινά για όσα έχουν προσφέρει στα Μαθηματικά !!!
Στην καλύτερή μου να βάλω 3 παλαμάκια για να "ισοφαρίσω"
Ας κάνουμε και λίγο χιούμορ

1. Προφανώς είναι $\hat{BAD}=\hat{MAC}=\omega ,$ και από το εγγράψιμο τετράπλευρο $AKML,\hat{MAL}=\hat{MKL}=\omega$ Οπότε $\hat{KAD}=\hat{JKT},\hat{JKA}=90^{0}\Rightarrow KT\perp AD$

STOPJOHN · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm
Ας δούμε 4 σχετικά εύκολα προβλήματα καθετότητας σε συμμετροδιάμεσο τριγώνου. (Η επιλογή του φακέλου οφείλεται στην συμμετροδιάμεσο και όχι στη "δυσκολία" των προβλημάτων)

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png
1) Έστω οι ορθές προβολές του μέσου της στις πλευρές αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $AD\bot KL$ όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 2.png
2) Έστω το συμμετρικό του ως προς το και το σημείο τομής των καθέτων στην στα σημεία αντίστοιχα σε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ . Να δείξετε ότι $AE\bot AD$ , όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png
3) Έστω τα σημεία τομής των καθέτων από τα στις κάθετες επί των στην κορυφή τριγώνου $\vartriangle ABC$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $AD\bot EF$ , όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου
Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png
4) Έστω $\vartriangle ABC$ περιγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ , κέντρου και η συμμετροδιάμεσός του. Αν είναι το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι $AD\bot OX$

Παρατήρηση: Θα μπορούσα βέβαια να τις κάνω 4 δημοσιεύσεις μήπως και φτάσω τον KARKAR στις δημοσιεύσεις αλλά μάλλον αυτό αποκλείεται εκτός αν καταφέρω και γίνω Αντώνης Κυριακόπουλος ή Γιάννης Κερασαρίδης (όχι βέβαια στις γνώσεις γιατί και αυτό αποκλείεται αλλά στον δυναμισμό να γράφω μέχρι τα βαθιά γεράματα !). Τους ευχαριστώ θερμά και τους δύο και υποκλίνομαι ταπεινά για όσα έχουν προσφέρει στα Μαθηματικά !!!
Στην καλύτερή μου να βάλω 3 παλαμάκια για να "ισοφαρίσω"
Ας κάνουμε και λίγο χιούμορ

2. Προφανώς απο τις γωνίες είναι $\hat{BAD}=\hat{MAC}=\theta ,$

και απο το εγγράψιμο τετράπλευρο

$AFEC,\hat{CAE}=\hat{CFE}=\omega ,\hat{FAE}=\hat{FCE}= \phi , AB=BF,BM=MC\Rightarrow AM//FC,$

Οπότε $\theta +\hat{DAM}=90-\omega \Leftrightarrow \hat{DAM}+\omega +\theta =90\Leftrightarrow \hat{DAE}=90^{0}$

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm
Ας δούμε 4 σχετικά εύκολα προβλήματα καθετότητας σε συμμετροδιάμεσο τριγώνου. (Η επιλογή του φακέλου οφείλεται στην συμμετροδιάμεσο και όχι στη "δυσκολία" των προβλημάτων)

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 1.png
1) Έστω οι ορθές προβολές του μέσου της στις πλευρές αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $AD\bot KL$ όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου

Για το πρώτο ερώτημα.

: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο.png (13.57 KiB) Προβλήθηκε 1026 φορές

Από το εγγράψιμο AKML

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και από τον ορισμό της συμμετροδιαμέσου και οι κόκκινες γωνίες είναι

ίσες. Άρα: $\displaystyle \angle AKS = \angle AKL = \angle AML = 90^\circ - \angle MAL = 90^\circ - \angle KAD \Leftrightarrow AD \bot KL$

Ίδια λύση με τον Γιάννη. Το αφήνω για τον κόπο του σχήματος.

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 3.png
3) Έστω τα σημεία τομής των καθέτων από τα στις κάθετες επί των στην κορυφή τριγώνου $\vartriangle ABC$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $AD\bot EF$ , όπου η συμμετροδιάμεσος του τριγώνου

Οι

τέμνονται στο

Προφανώς το ABSC

είναι παραλληλόγραμμο, άρα

είναι το μέσο του BC.

Λόγω των παραλληλιών οι γαλάζιες γωνίες είναι ίσες με την $\angle A,$ οπότε:

$\displaystyle \angle EAD = \angle EAB + \angle BAD = \angle CAF + \angle MAC = \angle MAF \Rightarrow$ $\boxed{\angle EAS=\angle DAF}$

: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο.3.png (26.86 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

Από το εγγράψιμο AESF

είναι $\angle ASE = \angle AFE \Leftrightarrow 90^\circ - \angle EAS = 90^\circ - \angle DAF = \angle AFE$ και το ζητούμενο έπεται.

#6

Για την 4η περίπτωση .

Πάμε σιγά σιγά.

Έστω $\vartriangle ABC$ και ο περιγεγραμμένος του κύκλος κέντρου

. Η εφαπτομένη στο

τέμνει την

στο σημείο

.

Από το

φέρνω κάθετη στην

και τέμνει την

στο

. Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των $OS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT$ .

Προφανώς το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle ASD$ κι έτσι $AX \bot BC$ , έστω στο σημείο

. Ας είναι ακόμα M,N

τα μέσα των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$

: Καθετότητα σε συμμετροδιάμεσο _4_Περίπτωση.png (33.29 KiB) Προβλήθηκε 959 φορές

Αβίαστα προκύπτουν τώρα τα παρακάτω:

$\overline {DXT} //OA\,,\,\,\left( {A,S,M,O} \right)$ ομοκυκλικά, $\widehat {ABC} = \widehat {AON} \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {OAN}$ ( κόκκινες )

Λόγω του εγγραψίμου τετράπλευρου ASMO

και του ορθοκέντρου

, $\widehat {DAE} = \widehat {XSD} = \widehat {MAO}$ (κίτρινες).

Δηλαδή : $\boxed{\widehat {BAD} = \widehat {MAC}}$ ( κάθε μια, άθροισμα μιας κόκκινης και μιας κίτρινης γωνίας).Συνεπώς η

είναι η συμετροδιάμεσος από το

στο $\vartriangle ABC$ .

Το ισοδύναμο πρόβλημα έχει απαντηθεί .

#7

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 23, 2021 2:20 pm
4) Έστω $\vartriangle ABC$ περιγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ , κέντρου και η συμμετροδιάμεσός του. Αν είναι το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι $AD\bot OX$

: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο 4.png (25.02 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Έστω

το ίχνος της καθέτου από το

στην

. Τότε τα τρίγωνα $\vartriangle AXD,\vartriangle AOM$ είναι όμοια ( $\angle XAD=\angle OAM$ (διαφορά ίσων γωνιών) και $\angle AXD=\angle AOM$ (παράλληλες πλευρές του ίδιο προσανατολισμού) όπως επίσης όμοια είναι και τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle AEM,\vartriangle AKD$ (από μια οξεία γωνία ίση (άθροισμα ίσων γωνιών) . Από τις ως άνω ομοιότητες έχουμε: $\dfrac{AK}{AE}\overset{\vartriangle AKD\sim \vartriangle AEM}{\mathop{=}}\,\dfrac{AD}{AM}\overset{\vartriangle AXD\sim \vartriangle AOM}{\mathop{=}}\,\dfrac{AX}{AO}:\left( 1 \right)$
Από τη σχέση $\left( 1 \right)$ σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι $AD\bot OX$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Σημείωση: Και όλα τα υπόλοιπα προβλήματα αποδεικνύονται με το ως άνω θεώρημα αλλά για τα πρώτα 3 νομίζω δεν συμφέρει

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Re: Καθετότητες στη συμμετροδιάμεσο

Μέλη σε σύνδεση