Ώρα εφαπτομένης 113

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 113.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Στο ορθογώνιο του σχήματος , υπολογίστε την : $\tan^2\phi$

#2

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 27, 2021 8:35 am Ώρα εφαπτομένης 113.pngΣτο ορθογώνιο του σχήματος , υπολογίστε την : $\tan^2\phi$

Έστω

Φέρνω την

διχοτόμο της $S\widehat DB$ και θέτω SE=x.

: Ώρα εφαπτομένης 113.png (15.98 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

$\displaystyle \varphi = \theta + \omega \Leftrightarrow \tan \varphi = \frac{{\frac{2}{a} + \frac{6}{a}}}{{1 - \frac{{12}}{{{a^2}}}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \varphi = \frac{{8a}}{{{a^2} - 12}}}$ (1)

Με θεώρημα διχοτόμων διαδοχικά στα τρίγωνα DAE, DSB

παίρνω:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{x} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {{(x + 2)}^2}} }}\\ \\ \dfrac{x}{{6 - x}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 4} }}{{\sqrt {{a^2} + 64} }} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\sqrt {11} \\ \\ x = \dfrac{{12}}{5} \end{array} \right.$

Με αντικατάσταση τώρα στην (1)

βρίσκω $\boxed{\tan \varphi = \frac{{\sqrt {11} }}{2}}$

ΥΓ.1 Η αρχική μου επιλογή ήταν η λύση του φίλτατου Νίκου (άλλαξα ρότα όταν είδα ότι με είχε προλάβει).

ΥΓ.2 Για να προλάβω τον KARKAR που θα πει "Σε φάκελο Άλγεβρας πρέπει να φανεί πώς λύνεται το σύστημα$"

, δηλώνω ότι θα επανέλθω...

#4

Επίλυση του συστήματος: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{2}{x} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {{(x + 2)}^2}} }}\\ \\ \dfrac{x}{{6 - x}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 4} }}{{\sqrt {{a^2} + 64} }} \end{array} \right.$

Υψώνω την πρώτη εξίσωση στο τετράγωνο και θέτω $\boxed{a^2=t}$

$\displaystyle \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{t}{{t + {{(x + 2)}^2}}} \Leftrightarrow t({x^2} - 4) = 4{(x + 2)^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{x + 2 \ne 0} t(x - 2) = 4(x + 2) \Leftrightarrow x = \frac{{2(t + 4)}}{{t - 4}}$

Αντικαθιστώ τώρα στη δεύτερη εξίσωση και έχω:

$\displaystyle \frac{{t + 4}}{{2(t - 8)}} = \frac{{\sqrt {t + 4} }}{{\sqrt {t + 64} }} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {t + 4} }}{{2(t - 8)}} = \frac{1}{{\sqrt {t + 64} }} \Leftrightarrow 4({t^2} - 16t + 64) = {t^2} + 68t + 256,$

απ' όπου $\displaystyle t = 44 \Leftrightarrow$ $\boxed{a=2\sqrt{11}}$ κλπ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 27, 2021 8:35 am Ώρα εφαπτομένης 113.pngΣτο ορθογώνιο του σχήματος , υπολογίστε την : $\tan^2\phi$

Με $SE \bot AB \Rightarrow \dfrac{SE}{x} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{BE}{BD} \Rightarrow SE= \dfrac{3x}{4}$ και $DE= \dfrac{1}{4} DB= \dfrac{1}{4} \sqrt{64+x^2}$

Από τη γνωστή σχέση SE^2=DE^2+DE.DS

εύκολα παίρνουμε $x=2 \sqrt{11} \Rightarrow tan \theta = \dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{ \sqrt{11} }$ και $tan \omega = \dfrac{6}{x} = \dfrac{3}{ \sqrt{11} }$

Τότε $tan \phi =tan( \theta + \omega )= \dfrac{tan \theta +tan \omega }{1-tan \theta tan \omega }$ =… $\dfrac{ \sqrt{11} }{2}$

: ώρα εφαπτομένης 113.png (11.19 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

KARKAR · #6

Υπέροχη η λύση του Μιχάλη

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Σάβ Νοέμ 27, 2021 11:21 pm Από τη γνωστή σχέση

Υπενθυμίζω ότι η γνωστή σχέση είναι η πρόταση αυτή , η οποία είναι υπό ένταξη στην λίστα

των Γεωμετρικών θεωρημάτων του mathematica , εδώ .

Ώρα εφαπτομένης 113

Ώρα εφαπτομένης 113

Re: Ώρα εφαπτομένης 113

Re: Ώρα εφαπτομένης 113

Re: Ώρα εφαπτομένης 113

Re: Ώρα εφαπτομένης 113

Re: Ώρα εφαπτομένης 113

Μέλη σε σύνδεση