Ἐπὶ τῆς Συνεχείας τοῦ μέτρου Lebesgue

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω

Lebesgue μετρήσιμο ὑποσύνολο τοῦ $\mathbb R$ , καὶ $f:E\to\mathbb R$ μὁλοκληρώσιμη συνάρτηση (δηλ.
$\int_E |f|\,dx<\infty$ .) Ἂν

καὶ

μετρήσιμα ὑποσυνολα τοῦ $\mathbb R$ , ὥστε $A,B\subset E$ καὶ

$\displaystyle{ \int_A f\,dx < t<\int_B f\,dx, }$

τότε δείξατε ὅτι ὑπάρχει μετρήσιμο $C\subset E$ , ὥστε $\int_C f\,dx=t$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 28, 2021 7:39 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω Lebesgue μετρήσιμο ὑποσύνολο τοῦ $\mathbb R$ , καὶ $f:E\to\mathbb R$ μὁλοκληρώσιμη συνάρτηση (δηλ.
$\int_E |f|\,dx<\infty$ .) Ἂν καὶ μετρήσιμα ὑποσυνολα τοῦ $\mathbb R$ , ὥστε $A,B\subset E$ καὶ

$\displaystyle{ \int_A f\,dx < t<\int_B f\,dx, }$

τότε δείξατε ὅτι ὑπάρχει μετρήσιμο $C\subset E$ , ὥστε $\int_C f\,dx=t$ .

Είναι πασίγνωστο ότι για μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση ισχύει:

Για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει $\delta>0$ ώστε

$\displaystyle |K|< \delta \Rightarrow \int _{K}|f|< \epsilon$

Διακρίνουμε περιπτώσεις.
1) t=0

παίρνουμε το

μονοσύνολο.
2) t>0

Θεωρούμε την
$\displaystyle g(x)=\int _{B\cap (-\infty ,x]}f$
η

είναι συνεχής (και ομοιόμορφα) και

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }g(x)=0,\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=\int _{B}f$
Από το Θ.Ε.Τ παίρνουμε το ζητούμενο.
3) t<0

Θεωρούμε την
$\displaystyle h(x)=\int _{A\cap [x,\infty )}f$
και κάνουμε τα ίδια.

Παρατηρήσεις
1)Αρκεί η

να είναι ολοκληρώσιμη στα A,B

2)Το

είναι υποσύνολο κάποιου από τα A,B

Ἐπὶ τῆς Συνεχείας τοῦ μέτρου Lebesgue

Ἐπὶ τῆς Συνεχείας τοῦ μέτρου Lebesgue

Re: Ἐπὶ τῆς Συνεχείας τοῦ μέτρου Lebesgue

Μέλη σε σύνδεση