εφαπτόμενος κύκλος σε παραβολές

polysindos · #1

Οι παραβολές $y^{2}=2ax+10$ και $y^{2}+2bx=12$ εφάπτονται στον κύκλο στο κοινό μέρος των εσωτερικών των παραβολών.

Αν A(-1,3)

σημείο επαφής της πρώτης παραβολής και B,C

τα σημεία επαφής με την δεύτερη παραβολή να υπολογίσετε το εμβαδόν του ABC

,

#2

polysindos έγραψε: Παρ Απρ 15, 2022 3:46 pm ...εφάπτονται στον κύκλο.

Μήπως λείπει κείμενο; Ποιον κύκλο εννοούμε;

#3

polysindos έγραψε: Παρ Απρ 15, 2022 3:46 pm Οι παραβολές $y^{2}=2ax+10$ και $y^{2}+2bx=12$ εφάπτονται στον κύκλο στο κοινό μέρος των εσωτερικών των παραβολών.

Αν σημείο επαφής της πρώτης παραβολής και τα σημεία επαφής με την δεύτερη παραβολή να υπολογίσετε το εμβαδόν του ,

Ευχαριστώ για την διόρθωση.

Αφού το (-1,3)

ανήκει στην $y^{2}=2ax+10$ , έχουμε 9=-2a+10

. Άρα

οπότε η εξίσωση της αριστερής παραβολής είναι y^2=x+10

.

Λόγω συμμετρίας η εξίσωση του κύκλου είναι της μορφής (x-p)^2+y^2=r^2

. Αφού το (-1,3)

ανήκει στον κύκλο έχουμε (-1-p)^2+9=r^2

, άρα η εξίσωση του κύκλου είναι

(x-p)^2+y^2= (-1-p)^2+9

, δηλαδή $x^2-2px+y^2=10+2p, \,(*)$

Στην τομή του με την αριστερή παραβολή ισχύει x^2-2px+(x+10)=10+2p

, δηλαδή

. Από το γεγονός ότι έχουμε διπλή ρίζα (διακρίνουσα μηδέν) έπεται (1-2p)^2+8p=0

από όπου

(διπλή ρίζα).

Άρα η εξίσωση του κύκλου (*)

είναι

.

Αφού ο κύκλος αυτός εφάπτεται της δεξιάς παραβολής έχουμε x^2+x+(12-2bx)=9

, ισοδύναμα x^2+(1-2b)x+3=0

, με μηδενική διακρίνουσα. Άρα (1-2b)^2 -12=0

, δηλαδή

, από όπου $b= \dfrac { 1\pm 2\sqrt {3}}{2}$ αλλά κρατάμε το θετικό λόγω του προσανατολισμού της παραβολής.

Ξέρουμε λοιπόν τις εξίσώσεις του κύκλου και των παραβολών, οπότε μπορούμε να βρούμε όλα τα κοινά σημεία (είναι τα $(-1,\pm 3)$ και $(\sqrt 3, \pm \sqrt {6-\sqrt 3})$ ). Τα υπόλοιπα είναι απλά και τα αφήνω ως άμεσα.

εφαπτόμενος κύκλος σε παραβολές

εφαπτόμενος κύκλος σε παραβολές

Re: εφαπτόμενος κύκλος σε παραβολές

Re: εφαπτόμενος κύκλος σε παραβολές

Μέλη σε σύνδεση