Ολοκλήρωμα - Ανισότητα

Λάμπρος Μπαλός · #1

Να αποδείξετε ότι

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} cos( \sqrt{2}sinx) \cdot cos( \sqrt{2}tanx) dx > \frac{1}{4}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: Κυρ Μάιος 08, 2022 9:01 pm Να αποδείξετε ότι

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} cos( \sqrt{2}sinx) \cdot cos( \sqrt{2}tanx) dx > \frac{1}{4}$

Είναι γνωστό ότι για $x\neq 0$

$\cos x> 1-\frac{x^2}{2}$

Ετσι η συνάρτηση μέσα στο ολοκλήρωμα ξεπερνάει το

$\displaystyle (1-(\sin x)^2)(1-(\tan x)^2)=1-(\sin x)^2-(\tan x)^2+(\sin x)^2(\tan x)^2=1-2(\sin x)^2=\ cos 2x$

Αλλά
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{12}}\cos 2x= \frac{\sin 2x}{2}|_{0}^{\frac{\pi }{12}}=\frac{1}{4}$

που δίνει το ζητούμενο.

Ολοκλήρωμα - Ανισότητα

Ολοκλήρωμα - Ανισότητα

Re: Ολοκλήρωμα - Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση