Για μαθητές μία διοφαντική

cool geometry · #1

Να λυθεί στους φυσικούς αριθμούς η εξίσωση ab+bc+ac-abc=3.

Joaakim · #2

cool geometry έγραψε: Κυρ Αύγ 14, 2022 4:17 pm Να λυθεί στους φυσικούς αριθμούς η εξίσωση

Wlog. $a \geq b \geq c$ . Έστω $c \geq 3$ .
Τότε $ab+bc+ca>abc \Rightarrow 1<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{3}{c} \leq 1$ , άτοπο.
Αν c=2

, τότε $2a+2b-ab=3 \Rightarrow (a-2)(b-2)=1 \Rightarrow a=b=3$ , αφού a,b>1

.
Αν πάλι c=1

, τότε $a+b=3 \Rightarrow a=2, b=1$ , ή, a=1, b=2

.
Tελικά

και

και οι αναδιατάξεις.

cool geometry · #3

Joaakim έγραψε: Κυρ Αύγ 14, 2022 4:44 pm
cool geometry έγραψε: Κυρ Αύγ 14, 2022 4:17 pm Να λυθεί στους φυσικούς αριθμούς η εξίσωση
Wlog. $a \geq b \geq c$ . Έστω $c \geq 3$ .
Τότε $ab+bc+ca>abc \Rightarrow 1<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq \frac{3}{c} \leq 1$ , άτοπο.
Αν , τότε $2a+2b-ab=3 \Rightarrow (a-2)(b-2)=1 \Rightarrow a=b=3$ , αφού .
Αν πάλι , τότε $a+b=3 \Rightarrow a=2, b=1$ , ή, .
Tελικά και και οι αναδιατάξεις.

Για μαθητές μία διοφαντική

Για μαθητές μία διοφαντική

Re: Για μαθητές μία διοφαντική

Re: Για μαθητές μία διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση