Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

#1

: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο.png (17.5 KiB) Προβλήθηκε 1907 φορές

Έστω $(\omega)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου ABC.

Στις προεκτάσεις των πλευρών AB, AC

θεωρώ αντίστοιχα

τα σημεία D, E

ώστε

και φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα DT, ES

του $(\omega)$ (T, S

προς το ίδιο μέρος

της BC).

Να δείξετε ότι οι BS, CT

τέμνονται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας $B\widehat AC.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 14, 2022 10:05 am
Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο.png
Έστω $(\omega)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου Στις προεκτάσεις των πλευρών θεωρώ αντίστοιχα

τα σημεία ώστε και φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα του $(\omega)$ προς το ίδιο μέρος

της Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας $B\widehat AC.$

Τουλάχιστον δύο φορές έχει τεθεί στο κι έχει λυθεί , από "Μεγαθήρια", με διάφορους τρόπους ( γεωμετρικά και τριγωνομετρικά )

Στάθη ξεπέρασες και τον Παρμενίδη!

#3

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 15, 2022 1:10 am

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 14, 2022 10:05 am
Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο.png
Έστω $(\omega)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου Στις προεκτάσεις των πλευρών θεωρώ αντίστοιχα

τα σημεία ώστε και φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα του $(\omega)$ προς το ίδιο μέρος

της Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας $B\widehat AC.$
Τουλάχιστον δύο φορές έχει τεθεί στο κι έχει λυθεί , από "Μεγαθήρια", με διάφορους τρόπους ( γεωμετρικά και τριγωνομετρικά )

Στάθη ξεπέρασες και τον Παρμενίδη!

Καλημέρα Νίκο

Ο Παναγιώτης είναι αξεπέραστος και η προσφορά του στη γεωμετρία ειναι τουλάχιστον ΤΕΡΑΣΤΙΑ !!!...

#4

Στάθη, χτες στην ανάρτησή σου (πριν από του Νίκου) είχες γράψει ότι η άσκηση αυτή είχε τεθεί στο

πριν από μία δεκαετία, αλλά δεν έβαλες την παραπομπή μήπως και δούμε καμιά καινούργια λύση. Μπορείς, αν θέλεις, να δώσεις την παραπομπή. Η παρούσα άσκηση καταστράφηκε έτσι κι αλλιώς.

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 15, 2022 9:43 am
Στάθη, χτες στην ανάρτησή σου (πριν από του Νίκου) είχες γράψει ότι η άσκηση αυτή είχε τεθεί στο πριν από μία δεκαετία, αλλά δεν έβαλες την παραπομπή μήπως και δούμε καμιά καινούργια λύση. Μπορείς, αν θέλεις, να δώσεις την παραπομπή. Η παρούσα άσκηση καταστράφηκε έτσι κι αλλιώς.

Καλημέρα

Δυστυχώς έσβησα κατα λάθος μια μου αναρτηση και ζήτω χίλια συγνώμη

Παρόλα αυτα δεν θεωρώ Γιώργο οτι η άσκηση ειναι " καμμένη " και δεν καταλαβαίνω το λόγο για τον οποίο το λες αυτο .

Η όμορφη αυτη πρόταση ( για μενα ) συνεχίζει να ειναι πρόκληση

Θεωρώ οτι μεσα στη δεκαετία το φόρουμ απέκτησε αρκετά νέα μέλη που δεν την έχουν ξαναδεί

KARKAR · #6

Η άσκηση είναι πράγματι εξαιρετική . Είχα αναρτήσει σχετικό θέμα πριν από δέκα χρόνια . Θυμάμαι την εντύπωση

που μου έκαναν οι έξοχες λύσεις , των Grigoris K. και Στάθη ...

#7

εδώ και στις παραπομπές. Είχα γράψει και την πηγή του θέματος : Μ.Γ. Μαραγκάκη , Γεωμετρικά θέματα,σελίδα 337

, έκδοση

KARKAR · #8

Εν τέλει δόθηκαν και οι παραπομπές . Δείτε λοιπόν και αυτή .

#9

Μετά από όλα αυτά, ας δώσω κι εγώ την πηγή μου. Είναι η άσκηση 137 στη σελίδα 314 του βιβλίου επίπεδος

γεωμετρία του Χ. Ταβανλή, όπου λύνεται από τον συγγραφέα με στοιχειώδεις μεθόδους και εξαιρετική μαεστρία.

#10

Δείτε και Εδώ και Εδώ.

Κώστας Βήττας.

Henri van Aubel · #11

Γράφω μία απλή τριγωνομετρική λύση!

Είναι $\displaystyle \frac{\sin \angle CBS}{\sin \angle ABS}=\frac{\sin \angle CSE}{\sin\angle SCE }=\frac{CE}{SE}=\frac{CE}{\sqrt{CE\cdot EA}}=\sqrt{\frac{CE}{EA}}$

Και $\displaystyle \frac{\sin \angle BCT}{\sin \angle ACT}=\frac{\sin \angle BTD}{\sin \angle TBD}=\frac{BD}{TD}=\frac{BD}{\sqrt{BD\cdot DA}}=\sqrt{\frac{BD}{DA}}$

Ακόμα $\displaystyle DE//BC \Rightarrow \frac {CE}{EA}=\frac {BD}{DA} \Leftrightarrow \frac {\sin \angle CBS}{\sin \angle ABS}=\frac {\sin \angle BCT}{\sin \angle ACT}$

Άρα από αντίστροφο τριγ.θ Ceva έπεται το ζητούμενο.

Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Re: Τέμνονται πάνω στη διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση