Το μικρότερο τρίγωνο

#1

Τα μήκη των πλευρών c, a, b

οξυγώνιου τριγώνου ABC

είναι διαδοχικοί ακέραιοι και

είναι τυχόν σημείο της

διχοτόμου AD.

α) Να δείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων του

από τις πλευρές του τριγώνου είναι σταθερό.

β) Αν το άθροισμα αυτό είναι θετικός ακέραιος, να βρείτε το τρίγωνο ABC

με την μικρότερη περίμετρο.

#2

george visvikis έγραψε: Δευ Οκτ 10, 2022 1:38 pm Τα μήκη των πλευρών οξυγώνιου τριγώνου είναι διαδοχικοί ακέραιοι και είναι τυχόν σημείο της

διχοτόμου α) Να δείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων του από τις πλευρές του τριγώνου είναι σταθερό.

β) Αν το άθροισμα αυτό είναι θετικός ακέραιος, να βρείτε το τρίγωνο με την μικρότερη περίμετρο.

α) Αν

τότε : $AB = x - 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = x + 1$ .

Ας είναι τώρα

τυχαίο σημείο της διχοτόμου

με αποστάσεις , d,d,y

από τις $AB\,\,,\,\,AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

$2\left( {ABC} \right) = 2\left( {ASB} \right) + 2\left( {ASC} \right) + 2\left( {SBC} \right)$ .

: Το μικρότερο τρίγωνο.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Αν το ύψος του $\vartriangle ABC$ από το

είναι

(σταθερό) η πιο πάνω σχέση δίδει:

$ah = cd + bd + ya \Leftrightarrow ah = \left( {b + c} \right)d + ay$ . Αλλά $a = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b + c = 2x$ και η σχέση γίνεται :

$xh = 2dx + xy \Leftrightarrow \boxed{2d + y = h}$

β) Αρκεί τώρα το

να είναι ακέραιος , την πιο μικρή περίμετρο την έχει το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

με $AB = 3\,\,,\,\,BC = 4\,\,,\,\,CA = 5$ .

Οι δύο επόμενες τριάδες είναι : $\left( {13,14,15} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {51,52,53} \right)$ .

Το μικρότερο τρίγωνο

Το μικρότερο τρίγωνο

Re: Το μικρότερο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση