Σύστημα με προϋπόθεση

#1

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x^2 +2y^3 =20}$

$\displaystyle{y^2 +2x^3 =20}$

$\displaystyle{y\geq \frac{1}{2}}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Πέμ Ιαν 05, 2023 9:18 pm Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x^2 +2y^3 =20}$

$\displaystyle{y^2 +2x^3 =20}$

$\displaystyle{y\geq \frac{1}{2}}$

Αφαιρούμε και παραγοντοποιούμε. Θα βρούμε (x-y)(2x^2+2xy+2y^2-x-y)=0

. Άρα είτε x=y

ή

.

α) Η πρώτη πίσω στο σύστημα δίνει x^2+2x^3=20

ή αλλιώς

. Μοναδική πραγματική ρίζα η x=2

.

β) H δεύτερη ως δευτεροβάθμια έχει διακρίνουσα -12y^2+4y+1=-(6y+1)(2y-1)

που για $y\geq \frac{1}{2}}$ είναι αρνητική εκτός αν $y= \frac{1}{2}}$ , οπότε μηδενίζεται. Σε αυτή την περίπτωση η 2x^2+(2y-1)+2y^2-y=0

γράφεται

, δηλαδή

. Απoρρίπτεται γιατί η $x=0,\, y=1/2$ δεν ικανοποιεί το σύστημα.

Τελικά x=y=2

.

Al.Koutsouridis · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Πέμ Ιαν 05, 2023 9:18 pm Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x^2 +2y^3 =20}$

$\displaystyle{y^2 +2x^3 =20}$

$\displaystyle{y\geq \frac{1}{2}}$

Ισχύει $x^2 +2y^3 =y^2 +2x^3 \Leftrightarrow 2x^3-x^2 = 2y^3-y^2 \Leftrightarrow x^2(2x-1)=y^2(2y-1)$ .

Το δεξί μέλος της παραπάνω ισότητας είναι μη αρνητικό, οπότε θα πρέπει να είναι και το αριστερό. Άρα θα είναι και $x \geq \dfrac{1}{2}$ .

Θεωρούμε την συνάρτηση f(t)=2t^3-t^2

( $t \geq \frac{1}{2}$ ), η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως από την f(x)=f(y)

προκύπτει ότι x=y

.

'Αρα αρκεί να λύσουμε την εξίσωση 2x^3+x^2=20

. Παρατηρούμε ότι το

είναι ρίζα της εξίσωσης. Διαιρούμε με x-2

το πολυώνυμο 2x^3+x^2-20

και βρίσκουμε ότι γράφεται στην μορφή (x-2)(2x^2+5x+10)

. Ο δευτεροβάθμιος παράγοντας δεν έχει πραγματικές ρίζες, οπότε μοναδική λύση (x,y)=(2,2)

.

Ενδιαφέρον έχει να λύσουμε το σύστημα χωρίς την προϋπόθεση...

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Ιαν 06, 2023 12:03 am
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Πέμ Ιαν 05, 2023 9:18 pm Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x^2 +2y^3 =20}$

$\displaystyle{y^2 +2x^3 =20}$

$\displaystyle{y\geq \frac{1}{2}$

Ενδιαφέρον έχει να λύσουμε το σύστημα χωρίς την προϋπόθεση...
Όταν $\displaystyle{y \leq - \frac{1}{6}}$ , τότε και πάλι το σύστημα είναι αδύνατο, όπως εύκολα φαίνεται με την λύση του Μιχάλη.

Οπότε το ενδιαφέρον εστιάζεται όταν $\displaystyle{-\frac{1}{6} <y <\frac{1}{2}}$ .

Πιστεύω ότι με σχολική ύλη, δεν μπορούμε να βρούμε λύση (αν υπάρχει) του εν λόγω συστήματος στην περίπτωση αυτή.

Σύστημα με προϋπόθεση

Σύστημα με προϋπόθεση

Re: Σύστημα με προϋπόθεση

Re: Σύστημα με προϋπόθεση

Re: Σύστημα με προϋπόθεση

Μέλη σε σύνδεση