4 Απλές προτάσεις Θεωρίας Αριθμών

[ΗρακληςΕυαγγελινος]

Με το συνάδελφο Ευρυπίδη Κασσέτα παρουσιάζουμε 4 απλές προτάσεις της Θεωρίας Αριθμών με τις αποδείξεις τους.
1. Το γινόμενο 3 διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το 3.
2. Το γινόμενο ν διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το ν.
3. Κάθε πρώτος αριθμός διάφορος του 2 και του 3 έχει δίπλα του ένα πολλαπλάσιο του 6(δύο αποδείξεις).
4. Κάθε πρώτος αριθμός διάφορος του 2 «ακουμπάει» σε ένα πολλαπλάσιο του 4.

Πρόταση 1
Το γινόμενο 3 διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το 3.
Απόδειξη
Έστω τρεις διαδοχικοί ακέραιοι και το γινόμενό τους. Διαιρώντας τον με το 3 έχω , με .
Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:
Αν τότε .
Αν τότε .
Αν τότε .

Πρόταση 2
Το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το .
Απόδειξη
Έστω διαδοχικοί ακέραιοι πλήθους και το γινόμενό τους. Διαιρώντας τον με το έχω , με .
Αν τότε . Σε κάθε άλλη περίπτωση, όποια και αν είναι η τιμή του , στο γινόμενο υπάρχει όρος της μορφής , ο οποίος με αντικατάσταση του γίνεται , ο οποίος διαιρείται με το , άρα και το γινόμενο διαιρείται με το .

Πρόταση 3
Κάθε πρώτος αριθμός διάφορος του 2 και του 3 έχει δίπλα του ένα πολλαπλάσιο του 6.
Απόδειξη 1
Έστω πρώτος με και .
Ο διαιρούμενος δια 6, δίνει υπόλοιπο και πηλίκο , άρα .
Εξετάζουμε τις περιπτώσεις:
: αποκλείεται γιατί ο είναι πρώτος.
:αποκλείεται γιατί ο είναι πρώτος.
:αποκλείεται γιατί ο είναι πρώτος.
:αποκλείεται γιατί ο είναι πρώτος.
Άρα ή , το οποίο σημαίνει ότι το ή το είναι πολλαπλάσιο του 6.
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση είτε ο αριστερός είτε ο δεξιός γείτονας του είναι πολλαπλάσιο του 6.

Απόδειξη 2
Έστω πρώτος και τέτοιος ώστε , δηλαδή ο βρίσκεται ανάμεσα σε 2 διαδοχικούς άρτιους αριθμούς. Τα είναι τρεις διαδοχικοί αριθμοί, άρα σύμφωνα με την πρόταση 1, το γινόμενό τους διαιρείται με το 3.
Ο δεν μπορεί να διαιρείται με το 3, θα διαιρείται ένας εκ των δύο άρτιων αριθμών , . Τότε αυτός διαιρείται και με το 2 και με το 3, επομένως διαιρείται και με το 6, δηλαδή ο "ακουμπά" σε ένα πολλαπλάσιο του 6.

Πρόταση 4
Κάθε πρώτος αριθμός "ακουμπάει" σε ένα πολλαπλάσιο του 4.
Απόδειξη
Έστω πρώτος αριθμός, με . Ο διαιρούμενος δια 4, δίνει υπόλοιπο και πηλίκο , άρα .
Εξετάζουμε τις περιπτώσεις:
: αποκλείεται γιατί ο είναι πρώτος.
:αποκλείεται γιατί ο είναι πρώτος.
Άρα ή , το οποίο σημαίνει ότι το ή το είναι πολλαπλάσιο του 4.
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση είτε ο αριστερός είτε ο δεξιός γείτονας του είναι πολλαπλάσιο του 4.
π.χ 16<17<18, 18<19<20

Παρατήρηση
Η πρόταση αυτή αποδεικνύεται και με δεύτερο τρόπο, αν αποδείξουμε με Μαθηματική Επαγωγή ότι στη σχέση για κάθε , ένα εκ των είναι πολλαπλάσιο του 4.

[Mihalis_Lambrou]

Σωστά μεν, αλλά είναι όλα πολύ γνωστά και τετριμμένα. Οι αποδείξεις που κάνεις είναι πολύ μακρόσυρτες για την αξία των θεωρημάτων.

Πιο απλά:

1. Το γινόμενο 3 διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το 3.

.
Αφού έχουμε τρεις διαδοχικούς αριθμούς, τότε υποχρεωτικά κάποιος από τους τρεις είναι πολλαπλάσιο του . Άρα και το γινόμενό τους είναι πολλαπλάσιο του .
.

2. Το γινόμενο ν διαδοχικών ακεραίων αριθμών διαιρείται πάντα με το ν.

.
Ακριβώς το ίδιο με το προηγούμενο αλλά με ν στην θέση του .
.

3. Κάθε πρώτος αριθμός διάφορος του 2 και του 3 έχει δίπλα του ένα πολλαπλάσιο του 6(δύο αποδείξεις).

.
Οι πρώτοι είναι περιττοί και άρα της μορφής ή . Η περίπτωση αποκλείεται γιατί αυτοί είναι πολλαπλάσια του (δηλαδή είναι μη πρώτοι). Άρα μένουν οι , και αυτοί έχουν δίπλα τους (και οι δύο) τον .
.

4. Κάθε πρώτος αριθμός διάφορος του 2 «ακουμπάει» σε ένα πολλαπλάσιο του 4.

.
Αυτό και αν είναι τετριμμένο. Οι πρώτοι πλην του 2 είναι περιττοί και άρα της μορφής . Aυτοί έχουν δίπλα τους (και οι δύο) τον .

[llenny]

Ισχύει γενικά το ισχυρότερο: Το διαιρεί το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων. Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Διωνυμικός συντελεστής

[Mihalis_Lambrou]

Ισχύει γενικά το ισχυρότερο: Το διαιρεί το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων. Υπόδειξη: Διωνυμικός συντελεστής

Σωστά:

Για παράδειγμα η πρόταση β) στο αρχικό ποστ λέει (για ) ότι το γινόμενο πέντε διαδοχικών φυσικών διαιρείται με το , αλλά τώρα αυτό βελτιώνεται στο ότι διαιρείται με το .