Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

sakis1963 · #1

: 2023.01.03.FB11453 mathematica.jpg (54.37 KiB) Προβλήθηκε 1554 φορές

Εστω τρίγωνο ABC

και

ύψος του.

Ο κύκλος (C, CB)

επανατέμνει την

στο

.

Ο περίκυκλος του τριγώνου EDC

επανατέμνει τον κύκλο (C, CB)

στο

Δείξτε οτι η είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου

#2

sakis1963 έγραψε:Εστω τρίγωνο και ύψος του. Ο κύκλος επανατέμνει την στο . Ο περίκυκλος του τριγώνου επανατέμνει τον κύκλο στο . Δείξτε οτι η είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου .

Έστω

ο κύκλος

της εκφώνησης και (K)

ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle CD E$ και έστω το σημείο $Z\equiv AD\cap (K)$ .

Ισχύει $\angle CEZ = \angle CDZ = 90^{o} = \angle CFZ\ \ \ ,(1)$ και $\boxed{ZE = ZF}\ \ \ ,(2)$ λόγω συμμετρίας του τετραπλεύρου CEZF

ως προς την διάμετρο

του κύκλου (K),

επειδή το κέντρο

του κύκλου (C)

ανήκει στον (K)

.

: Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία.; f 171_t 73040.PNG (24.38 KiB) Προβλήθηκε 1464 φορές

Από $\angle CEA = 90^{o} + \angle AEZ = \angle ABX = 90^{o} + \angle EAZ\Rightarrow$ $\angle AEZ = \angle EAZ\Rightarrow$ $\boxed{ZE = ZA}\ \ \ ,(3)$ όπου

είναι τυχόν σημείο στην προέκταση του

προς το μέρος του

Από $(2),\ (3)$ προκύπτει ότι το σημείο

ταυτίζεται με το κέντρο του περίκυκλου (Z)

του τριγώνου $\vartriangle AEF.$

Έτσι, από $CE\perp EZ$ και $CF\perp FZ$ συμπεραίνεται ότι το σημείο

ταυτίζεται με το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου (Z)

στα σημεία $E,\ F$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#3

sakis1963 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 07, 2023 2:36 pm
2023.01.03.FB11453 mathematica.jpg

Εστω τρίγωνο και ύψος του.

Ο κύκλος επανατέμνει την στο .

Ο περίκυκλος του τριγώνου επανατέμνει τον κύκλο στο

Δείξτε οτι η είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

στον θαλασσί κύκλο και

το σημείο τομής των $BF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,GE$ .

Επειδή οι γωνίες $\widehat {BEG}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BFG}$ είναι ορθές η τετράδα : $\left( {A,S,B,G} \right)$ είναι ορθοκεντρική .

Έστω τώρα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα σημεία τομής των ευθειών $AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AF$ με τον κόκκινο κύκλο. Θα ισχύουν :

: Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία_new.png (30.75 KiB) Προβλήθηκε 1403 φορές

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ , ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του κόκκινου κύκλου και

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ , ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του θαλασσί κύκλου.

Άρα , $\boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}}$ με άμεσες συνέπειες: KL//BG

και το σημείο τομής $\,\,M\,\,$ της

με την

να είναι μέσο του

. ( Θεώρημα κεντρικής δέσμης ).

Αφού όμως η

είναι αντιπαράλληλη της

, η ευθεία

είναι ο φορέας της συμμετροδιαμέσου του $\vartriangle AEF$ που διέρχεται από το

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

sakis1963 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 07, 2023 2:36 pm
2023.01.03.FB11453 mathematica.jpg

Εστω τρίγωνο και ύψος του.

Ο κύκλος επανατέμνει την στο .

Ο περίκυκλος του τριγώνου επανατέμνει τον κύκλο στο

Δείξτε οτι η είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου

Έστω ότι η

τέμνει τον κύκλο (C,BC)

στο

.Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία B,C,P

είναι συνευθειακά.

Επειδή CE=CF=a

,αν

μέσον της

θα είναι $CN \bot EF$ ,συνεπώς το κέντρο του κύκλου (E,D,C)

ανήκει στην

κι επειδή η γωνία ADC

είναι ορθή,η

περνά από το

και $\angle SFC=90^0$ καθώς και SE=SF

Με $CM \bot AB$ προφανώς οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες κι επειδή $\angle CES=90^0$ ,θα είναι $\angle SEA= \theta$ ,

άρα SF=SE=SA

κι επειδή $\angle SFC=90^0$ είναι $\angle AFS= \angle SAF=90^0- \omega$ οπότε

$\angle DSF= \angle FCP=180^0-2 \omega \Rightarrow B,C,P$ συνευθειακά

Τώρα είναι , $BF \bot AC$ και $PE \bot AB$ κι έστω $CH\bot AP$

$\triangle ABF \simeq \triangle AEP \Rightarrow \dfrac{EP}{AE} = \dfrac{BF}{AF} \Rightarrow \dfrac{2CM}{AE}= \dfrac{2CH}{AF} \Rightarrow \dfrac{CM}{AE}= \dfrac{CH}{AF}$

,άρα

συμμετροδιάμεσος του $\triangle AEF$

: Συμμετροδιάμεσος.png (88.42 KiB) Προβλήθηκε 1364 φορές

jason.prod · #5

Καλησπέρα. Θα ήθελα να ρωτήσω με ποιο ακριβώς σκεπτικό αυτή η άσκηση μπαίνει στο επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη του Γυμνασίου. Οι διαγωνιζόμενοι σε επίπεδο Γυμνασίου που ξέρουν τον ορισμό της συμμετροδιαμέσου είναι μετρημένοι στα δάκτυλα του ενός χεριού, ενώ ακόμα και οι διαγωνιζόμενοι στο λύκειο δεν είναι ούτε αυτοί πάρα πολλοί. Η άσκηση, με βάση την εκφώνηση και τις λύσεις είναι μάλλον για το επίπεδο του Αρχιμήδη μεγάλων και σίγουρα όχι για το επίπεδο Ευκλείδη μικρών. Καλό είναι να σκεφτόμαστε και τα παιδιά που επισκέπτονται το forum πριν βάλουμε μια άσκηση σε ένα επίπεδο.

Al.Koutsouridis · #6

jason.prod έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 11, 2023 11:57 pm
Καλησπέρα. Θα ήθελα να ρωτήσω με ποιο ακριβώς σκεπτικό αυτή η άσκηση μπαίνει στο επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη του Γυμνασίου. Οι διαγωνιζόμενοι σε επίπεδο Γυμνασίου που ξέρουν τον ορισμό της συμμετροδιαμέσου είναι μετρημένοι στα δάκτυλα του ενός χεριού, ενώ ακόμα και οι διαγωνιζόμενοι στο λύκειο δεν είναι ούτε αυτοί πάρα πολλοί. Η άσκηση, με βάση την εκφώνηση και τις λύσεις είναι μάλλον για το επίπεδο του Αρχιμήδη μεγάλων και σίγουρα όχι για το επίπεδο Ευκλείδη μικρών. Καλό είναι να σκεφτόμαστε και τα παιδιά που επισκέπτονται το forum πριν βάλουμε μια άσκηση σε ένα επίπεδο.

Έχεις απόλυτο δίκιο και καλά κάνεις και το επισημαίνεις. Καλό είναι τα θέματα στους φακέλους να έχουν εκφωνήσεις τουλάχιστον ( και η δυσκολία), που να αντιστοιχούν στις γνώσεις της τάξης. Εδώ πες μπορεί να έγινε κατά λάθος ή δεν δόθηκε σημασία κτλ.

Επί της ευκαιρίας, υπάρχει θέμα και σε ποιο θεσμικά μέσα. Π.χ. η ΕΜΕ στις επίσημες λύσεις του γυμνασίου χρησιμοποιεί τα σύμβολα $\Leftrightarrow , \Rightarrow$ . Τα σύμβολά αυτά και η έννοιά τους εισάγονται στο Λύκειο. Ένας μέσος μαθητής διαβάζοντας αυτές τις λύσεις θα δυσκολευτεί να τις κατανοήσει.

#7

jason.prod έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 11, 2023 11:57 pm
Καλησπέρα. Θα ήθελα να ρωτήσω με ποιο ακριβώς σκεπτικό αυτή η άσκηση μπαίνει στο επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη του Γυμνασίου. Οι διαγωνιζόμενοι σε επίπεδο Γυμνασίου που ξέρουν τον ορισμό της συμμετροδιαμέσου είναι μετρημένοι στα δάκτυλα του ενός χεριού, ενώ ακόμα και οι διαγωνιζόμενοι στο λύκειο δεν είναι ούτε αυτοί πάρα πολλοί. Η άσκηση, με βάση την εκφώνηση και τις λύσεις είναι μάλλον για το επίπεδο του Αρχιμήδη μεγάλων και σίγουρα όχι για το επίπεδο Ευκλείδη μικρών. Καλό είναι να σκεφτόμαστε και τα παιδιά που επισκέπτονται το forum πριν βάλουμε μια άσκηση σε ένα επίπεδο.

Ιάσονα, το έχω γράψει και εγώ πολλές φορές. Για κάποιο λόγο οι γεωμέτρες της παρέας κρίνουν τον φάκελο που θα βάλουν ένα θέμα, μόνο με βάση τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται στη λύση. Πχ, αν είναι μόνο angle-chasing, ας είναι και ΙΜΟ 6, θα μπει στον φάκελο της Α Λυκείου.

Υ.Γ. Έκανα μεταφορά του θέματος.

Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

Re: Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

Re: Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

Re: Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

Re: Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

Re: Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

Re: Συμμετροδιάμεσος κατά παραγγελία

Μέλη σε σύνδεση