Ολοκλήρωμα (3)

orestisgotsis · #1

Περιττό

Ορέστης Λιγνός · #2

orestisgotsis έγραψε: Σάβ Ιαν 07, 2023 7:28 pm Να αποδείξετε την παρακάτω διπλή ανισότητα.

$\displaystyle\ln \frac{\sqrt{2009}+\sqrt{2010}}{\sqrt{2008}+\sqrt{2009}}<\displaystyle\int_{\sqrt{2008}}^{\sqrt{2009}}{\frac{\sqrt{1-{{e}^{-{{x}^{2}}}}}}{x}}dx<\sqrt{2009}-\sqrt{2008}$ .

Είναι,

$\dfrac{\sqrt{1-e^{-x^2}}}{x} < \dfrac{\sqrt{1-(-x^2+1)}}{x}=\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}=1,$

για κάθε x>0

, και επίσης

$e^{x^2} >x^2+1$ , άρα

$e^{-x^2}<\dfrac{1}{x^2+1}$ , άρα

$\dfrac{\sqrt{1-e^{-x^2}}}{x} >\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Επομένως,

$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}<\dfrac{\sqrt{1-e^{-x^2}}}{x}<1,$

οπότε ολοκληρώνοντας με άκρα $\sqrt{2008}$ και $\sqrt{2009}$ και χρησιμοποιώντας ότι μια παράγουσα της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ είναι η $G(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$ , προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.

Ολοκλήρωμα (3)

Ολοκλήρωμα (3)

Re: Ολοκλήρωμα (3)

Μέλη σε σύνδεση