Περί συμμετρίας.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 399.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Θεωρώ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα

δύο κύκλων που τέμνονται στα σημεία

και

.
Στη συνέχεια γράφω τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία B, C, D

και από το

φέρνω κάθετη
στη

η οποία τέμνει αυτόν στο

.
Δείξτε ότι τα σημεία

και

είναι συμμετρικά ως προς την

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Ιαν 12, 2023 6:50 pm 399.png

Θεωρώ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα δύο κύκλων που τέμνονται στα σημεία και .
Στη συνέχεια γράφω τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία και από το φέρνω κάθετη
στη η οποία τέμνει αυτόν στο .
Δείξτε ότι τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς την .

Η

τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου BCD

στο

και θεωρούμε ακόμη τον κύκλο (A,C,D)

Από χορδής κι εφαπτόμένης ισχύει $\angle ACD= \angle CBA$ και $\angle ADC= \angle ABD$ , επομένως, $\angle CAD=180^0- \angle CBD$ ,

συνεπώς οι κύκλοι (C,B,D)

και

είναι ίσοι,άρα όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,επομένως

και οι κόκκινες (αφού $\angle CQD= \angle CBD$ )

Τότε όμως και η γωνία DCP

θα είναι κόκκινη και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: περί συμμετρίας.png (51.98 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Ιαν 12, 2023 6:50 pm 399.png

Θεωρώ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα δύο κύκλων που τέμνονται στα σημεία και .
Στη συνέχεια γράφω τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία και από το φέρνω κάθετη
στη η οποία τέμνει αυτόν στο .
Δείξτε ότι τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς την .

Η

επανατέμνει τον κόκκινο κύκλο στο

και η

τον μπλε στο

Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα

ABTC, ABSD

και τη σχέση εγγεγραμμένη γωνίας και χορδής εφαπτομένης, προκύπτει ότι οι πράσινες

γωνίες είναι ίσες, όπως και οι κόκκινες.

: Περί συμμετρίας.png (29.83 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

$\displaystyle C\widehat PD = 180^\circ - C\widehat BD = B\widehat CD + B\widehat DC = T\widehat AS = C\widehat AD.$ Άρα οι περίκυκλοι των τριγώνων

PCD, ACD

είναι ίσοι αφού τα P, A

βλέπουν την κοινή χορδή

υπό ίσες γωνίες. Επομένως η

είναι άξονας συμμετρίας αυτών των κύκλων και το ζητούμενο έπεται.

#4

Ίσως το συμπέρασμα στην προηγούμενή μου ανάρτηση να μην είναι απόλυτα ξεκάθαρο. Θα αποδείξω το παρακάτω λήμμα.

Λήμμα: Δύο ίσοι κύκλοι (K, R)

και

τέμνονται στα A,B.

Αν τα σημεία

του κύκλου (K)

και

του

βρίσκονται εκατέρωθεν της κοινής χορδής και $AB\bot CD,$ τότε η

είναι μεσοκάθετη της CD.

: Περί συμμετρίας-λήμμα.png (19.52 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Λόγω των ίσων ακτίνων, η

είναι μεσοκάθετη του KL.

Αλλά το

είναι ισοσκελές τραπέζιο,

οπότε η μεσοκάθετη της

θα είναι μεσοκάθετη και της CD.

#5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Πέμ Ιαν 12, 2023 6:50 pm 399.png

Θεωρώ το κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα δύο κύκλων που τέμνονται στα σημεία και .
Στη συνέχεια γράφω τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία και από το φέρνω κάθετη
στη η οποία τέμνει αυτόν στο .
Δείξτε ότι τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς την .

Δεν γράφω τον κύκλο $\left( {B,C,D} \right)$ αλλά θεωρώ το $\vartriangle PCD$ συμμετρικό του $\vartriangle ACD$ ως προς άξονα συμμετρία την ευθεία

.

: Περί συμμετρίας.png (34.89 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Από την πρόταση χορδής κι εφαπτομένης έχω: $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \hfill \\ \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{a_1}} + \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_2}} + \widehat {{a_4}} = 180^\circ - \widehat {\theta _{}^{}} = 180^\circ - \widehat {CPD}$ .

Οπότε : $\widehat {{a_2}} + \widehat {{a_4}} + \widehat {CPD} = 180^\circ$ , δηλαδή τα σημεία $B\,\,,\,\,C\,\,,\,\,P\,\,,\,\,D$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο .

Περί συμμετρίας.

Περί συμμετρίας.

Re: Περί συμμετρίας.

Re: Περί συμμετρίας.

Re: Περί συμμετρίας.

Re: Περί συμμετρίας.

Μέλη σε σύνδεση