Αρμονικός μέσος

#1

: Αρμονικός μέσος.png (9.49 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC.

Οι κάθετες από το

στις

τέμνουν την

στα

αντίστοιχα.

Να βρείτε τον αρμονικό μέσο των BE, CF

συναρτήσει των πλευρών a, b, c

του τριγώνου ABC.

abgd · #2

Έστω $\displaystyle{EB=x, \ \ FC=y}$

Με τη βοήθεια του νόμου των ημιτόνων...

Στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ μπορούμε να δείξουμε ότι: $\displaystyle{\boxed{b\cdot cosC+c\cdot cosB=a}}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{AEB}$ είναι:

$\displaystyle{\frac{x}{sin(90-A)}=\frac{c}{sinE}\Rightarrow \frac{x}{cosA}=\frac{c}{cosC }\Rightarrow \boxed{\frac{1}{x}=\frac{cosC}{c\cdot cosA}}}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{AFC}$ ομοίως: $\displaystyle{ \boxed{\frac{1}{y}=\frac{cosB}{b\cdot cosA}}}$

Έτσι θα είναι:

$\displaystyle{H=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{2bc\cdot cosA}{a}}$

και με τη βοήθεια του νόμου των συνημιτόνων στο $\displaystyle{ABC}$

$\displaystyle{\boxed{H=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}}}$

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 03, 2023 10:13 am
Αρμονικός μέσος.png
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο Οι κάθετες από το στις τέμνουν την στα αντίστοιχα.

Να βρείτε τον αρμονικό μέσο των συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου

Εστω

$EB=x,CF=y,AD\perp BC,BT\perp AE,AM\perp AF$

Π.Θεώρημα στο τρίγωνο

$AEC,AE^{2}=(x+a)^{2}-b^{2},$

και μετρικές σχέσεις

$AE^{2}=(x+DB)(x+a),$

οπότε $DB=\dfrac{a^{2}+ax-b^{2}}{x+a},(1),$

Ομοίως στο ορθογώνιο τρίγωνο

$ABF,DC=\dfrac{a^{2}+ay-b^{2}}{a+y},(2),$
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$CMF,ABD ,BD=\dfrac{c^{2}}{a+y},(3),(1),(3)\Rightarrow y=\dfrac{b^{2}x}{a^{2}+ax-b^{2}},(4)$

Από τα όμοια τρίγωνα και από τη σχέση

$(2),y=\dfrac{x(a^{2}+ay-c^{2})}{c^{2}},(5), (4),(5)\Rightarrow x=a.\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a^{2}-c^{2}+b^{2}}, y=a.\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{c^{2}+a^{2}-b^{2}}\Rightarrow \dfrac{2xy}{x+y}=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a}$

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 03, 2023 10:13 am
Αρμονικός μέσος.png
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο Οι κάθετες από το στις τέμνουν την στα αντίστοιχα.

Να βρείτε τον αρμονικό μέσο των συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Θέτω: $EB = x\,\,,\,\,BO = k\,\,,\,\,OC = m\,\,,\,\,CF = y$ .

Επειδή , $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = 90^\circ - \widehat {BAC}$ από το Θ. Steiner

έχω: $\dfrac{{x\left( {x + a} \right)}}{{y\left( {y + a} \right)}} = \dfrac{{A{E^2}}}{{A{F^2}}}\,\,\left( 1 \right)$

Από το Θ. Ευκλείδη στα $\vartriangle AEC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AFB$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} A{E^2} = EO \cdot EC = \left( {x + k} \right)\left( {x + a} \right)\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ A{F^2} = FO \cdot FB = \left( {y + m} \right)\left( {y + a} \right)\,\,\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ προκύπτει :

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{k}{m} \Rightarrow \dfrac{x}{{x + y}} = \dfrac{k}{{k + m}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{2xy}}{{x + y}} = \dfrac{{2ky}}{a} = \dfrac{{2mx}}{a}}\,\,\left( 4 \right)$ ( αφού mx = ky

)

: Αρμονικός μέσος.png (16.8 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Πάλι από Θ. Ευκλείδη στα ίδια τρίγωνα έχω:

$\left\{ \begin{gathered} {c^2} = k\left( {y + a} \right) \hfill \\ {b^2} = m\left( {x + a} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {b^2} + {c^2} = 2mx + a\left( {k + m} \right) = 2mx + {a^2}$

Η πιο πάνω σχέση γράφεται : ${b^2} + {c^2} - {a^2} = 2mx \Rightarrow \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{a} = \dfrac{{2mx}}{a}$

ή λόγω της $\left( 4 \right)$ , $\boxed{\dfrac{{2xy}}{{x + y}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{a}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 03, 2023 10:13 am
Αρμονικός μέσος.png
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο Οι κάθετες από το στις τέμνουν την στα αντίστοιχα.

Να βρείτε τον αρμονικό μέσο των συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου

Οι

τέμνουν τον περίκυκλο του τριγώνου AEF

στα

αντίστοιχα.

Επειδή EH,ZF

διάμετροι, το EFHZ

είναι ορθογώνιο,άρα ZH=x+y+a

Είναι,

και

και με πρόσθεση έχουμε 2xy+a(x+y)=cm+bn (1)

Ακόμη ισχύει $\dfrac{c}{c+m} = \dfrac{a}{a+x+y} \Rightarrow \dfrac{c}{m}= \dfrac{a}{x+y} \Rightarrow mc= \dfrac{c^2(x+y)}{a}$ και ομοίως $bn= \dfrac{b^2(x+y)}{a}$

Άρα $(1) \Rightarrow 2xy+a(x+y)= \dfrac{c^2(x+y)}{a} + \dfrac{b^2(x+y)}{a}$ κι εύκολα $\dfrac{2xy}{x+y}= \dfrac{c^2+b^2-a^2}{a}$

: αρμονικός μέσος.png (104.47 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

S.E.Louridas · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 03, 2023 10:13 am
Αρμονικός μέσος.png
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο Οι κάθετες από το στις τέμνουν την στα αντίστοιχα.
Να βρείτε τον αρμονικό μέσο των συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου

Απλά μία ιδέα.

Αν θεωρήσουμε τα ύψη BB΄, CC΄

του τριγώνου ABC

, τότε ισχύει: $\frac{a}{{CF}} = \frac{{BC'}}{{c - BC'}},$ με $BC' = \frac{{\sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} }}{c},$

οπότε προκύπτει $\frac{a}{{CF}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} }}{{{c^2} - \sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} }}.$ Όμοια παίρνουμε $\frac{a}{{BE}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} }}{{{b^2} - \sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} }}.$

Έτσι τελικά έχουμε

$\frac{2}{{\frac{1}{{BE}} + \frac{1}{{CF}}}} = ... = \frac{{2a\left( {{b^2} - \sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} } \right)\left( {{b^2} - \sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} } \right)}}{{\sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} \left( {{b^2} + {c^2} - 2\sqrt {{a^2} - 4{{(ABC)}^2}} } \right)}} = ...$

Αρμονικός μέσος

Αρμονικός μέσος

Re: Αρμονικός μέσος

Re: Αρμονικός μέσος

Re: Αρμονικός μέσος

Re: Αρμονικός μέσος

Re: Αρμονικός μέσος

Μέλη σε σύνδεση