Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

#1

: Φιλιππινέζα.png (15.09 KiB) Προβλήθηκε 3685 φορές

Από σημείο

εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB

και έστω

τυχόν σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}.$

Η

επανατέμνει τον κύκλο στο

και η παράλληλη από το

στην

τέμνει τις AD, AC

στα

Να δείξετε

ότι το

είναι το μέσο του EF.

Henri van Aubel · #2

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pm Φιλιππινέζα.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}.$

Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε

ότι το είναι το μέσο του

Είναι φως φανάρι

(ΦΩΝΑΖΕΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΕΣΜΗ )

Henri van Aubel · #3

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pm Φιλιππινέζα.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}.$

Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε

ότι το είναι το μέσο του

Για όσους δεν γνωρίζουν αρμονικές δέσμες (μικροί μαθητές που μπορεί να μας βλέπουν) , υπάρχει και πιο κάτω λύση:

Έχουμε DEFC εγγράψιμο . (απλό με λίγο κυνήγι γωνιών)

Επομένως $\displaystyle \frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AD}:(1)$

H

είναι η πολική του

ως προς τον εν λόγω κύκλο και επειδή D,C,P

συνευθειακά, έπεται ότι το τετράπλευρο ACBD

είναι αρμονικό.

Επομένως $\displaystyle \frac{\sin \angle BAF}{\sin \angle BAE}=\frac{\sin \angle BDC}{\sin \angle DCB}=\frac{BC}{BD}=\frac{AC}{AD}:(2)$

Από $\displaystyle \left ( 1 \right ),\left ( 2 \right )\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{\sin \angle BAF}{\sin \angle BAE}\Rightarrow B$ μέσο

.

#4

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pm Φιλιππινέζα.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}.$

Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε

ότι το είναι το μέσο του

Το τετράπλευρο ADBC

είναι αρμονικό , η

είναι (η από το

)

συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle DBA$ και η δέσμη : $\left( {AD,AC\backslash AB,AP} \right)$ αρμονική .

: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα.png (23.18 KiB) Προβλήθηκε 3584 φορές

Επειδή η ευθεία $\varepsilon$ είναι παράλληλη στην ακτίνα

της δέσμης, θα τέμνει τις τρεις

άλλες ακτίνες : AD,AB,AC

σε τρία σημεία , E,B,F

με το

μέσο του

.

Δείτε σχετικά στις σελίδες του βιβλίου : «Διαγωνισμοί στα μαθηματικά , τόμος 1ος» των :

Α, Μάγκου ,Β. Μουρούκου , Χ. Στεργίου ,Α. Συγγελάκη , Δ. Χριστοφίδη

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα! Υποβάλλω στην ουσία την προσέγγιση του Κώστα (#3)

με χρήση της ύλης του σχολικού βιβλίου, ώστε να είναι κατανοητή σε περισσότερους από μας..

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pm

23-4 Φιλιππινέζα.. .png (269.1 KiB) Προβλήθηκε 3493 φορές

Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}.$

Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε

ότι το είναι το μέσο του

Για να δείξουμε ότι BE=EF

αρκεί να ισχύει (ABE)=(BAF)

.

Έχουμε $\dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( BAF \right )}=\dfrac{AE\cdot AB\cdot sin\varphi }{AF\cdot AB\cdot sin\omega} =\dfrac{AE}{AF}\cdot \dfrac{BD}{BC}$ (Από Ν. ημιτόνων στο τρίγωνο BCD

).

Μένει να δείξουμε ότι $\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{BC}{BD} ..(1)$

Οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες (βαίνουν στο ίδιο τόξο , χορδής-εφαπτομένης με εγγεγραμμένη, εντός εναλλάξ).

Άρα το EFCD

(*) , είναι εγγράψιμο με $AD\cdot AE=AC\cdot AF \Leftrightarrow \dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AD}..(2)$

Η αποδεικτέα λοιπόν σχέση γίνεται $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}..(3)$ . (Ιδιότητα του αρμονικού τετραπλευρου ADBC

)

Έχουμε $\dfrac{\left ( PAC \right )}{\left (PBC \right )}=\dfrac{d}{h}=\dfrac{\left ( PAD \right )}{\left (PBD \right )}$ . Όμως $\dfrac{\left ( PAC \right )}{\left (PBC \right )}=\dfrac{AC\cdot AP \cdot sin\theta }{BC\cdot BP\cdot sin\omega }=\dfrac{AC^2}{BC^2}..(4)$

και ομοίως $\dfrac{\left (PAD \right )}{\left ( PBD \right )}=\dfrac{AD\cdot APsin\left ( \widehat{DAP} \right )}{BD\cdot BPsin\left ( \widehat{DBP} \right )}=\dfrac{AD}{BD}\cdot \dfrac{sin\left ( \widehat{ABD} \right )}{sin\left ( \widehat{BAD} \right )}=\dfrac{AD^2}{BD^2}..(5)$

αφού $\widehat{DAP}+\widehat{ABD}=180^o$ και $\widehat{DBP}+\widehat{BAD}=180^o$ ,

με χρήση του Ν. ημιτόνων στα τρίγωνα ABC

και

Από

προκύπτουν ανάδρομα και οι (3) , (2) , (1)

συνεπώς $\dfrac{\left ( ABE \right )}{\left ( BAF \right )}=1$

και τελικά BE=EF

δηλ. το ζητούμενο! Φιλικά, Γιώργος.

* Κώστα, τα γράμματα D,E,F

να μην τα βάζεις και τα τρία μ' αυτή τη σειρά , για να τα δεχθεί!..

Henri van Aubel · #6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Απρ 25, 2023 12:37 am Καλημέρα! Υποβάλλω στην ουσία την προσέγγιση του Κώστα (#3)

* Κώστα, τα γράμματα να μην τα βάζεις και τα τρία μ' αυτή τη σειρά , για να τα δεχθεί!..

Γιώργο, δεν είμαι σίγουρος ότι κατάλαβα τι εννοείς.

Φιλικά , Κώστας

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλό βράδυ!

Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 1:44 pm

Έχουμε DEFC εγγράψιμο . (απλό με λίγο κυνήγι γωνιών)

Κώστα
Αν βάλουμε με γραφή TeX συνεχόμενα τα DEF εμφανίζει αυτό:

DEF

Υπέθεσα ότι λόγω αυτής της δυσκολίας το άφησες (είναι το μόνο) εκτός γραφής latex..

Μπορείς να ενεργοποιήσεις και τα προσωπικά μηνύματα.. Φιλικά, Γιώργος.

#8

Ευχαριστώ τον Κώστα, τον Νίκο και το Γιώργο για τις λύσεις τους. Η άσκηση είναι από μαθηματική Ολυμπιάδα

στις Φιλιππίνες και υπάρχει στοιχειώδης λύση χωρίς αρμονικότητες. Προτίθεμαι να την γράψω αν δεν δοθεί.

ΥΓ. Το DEF μπορεί να γραφεί και με αυτή τη σειρά, αν αφήσετε κενό ανάμεσα στο

και στο

ή ανάμεσα στο

και στο

Και δια του λόγου το αληθές, DE F

Henri van Aubel · #9

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Απρ 25, 2023 10:08 pm Καλό βράδυ!
Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 1:44 pm

Έχουμε DEFC εγγράψιμο . (απλό με λίγο κυνήγι γωνιών)
Κώστα
Αν βάλουμε με γραφή TeX συνεχόμενα τα DEF εμφανίζει αυτό: $DEF$
Υπέθεσα ότι λόγω αυτής της δυσκολίας το άφησες (είναι το μόνο) εκτός γραφής latex..

Μπορείς να ενεργοποιήσεις και τα προσωπικά μηνύματα.. Φιλικά, Γιώργος.

Γιώργο, ακριβώς αυτός είναι ο λόγος που δεν το έγραψα σε latex.

Τώρα κατάλαβα τι εννοείς λέγοντας: "για να τα δεχθεί"

Τα προσωπικά μου μηνύματα δεν είναι ανοιχτά;

#10

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pm Φιλιππινέζα.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου $\overset\frown{AB}.$

Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε

ότι το είναι το μέσο του

Δίνω μία στοιχειώδη λύση, όπως υποσχέθηκα.

: Φιλιππινέζα.2.png (20.85 KiB) Προβλήθηκε 3284 φορές

Λόγω των εφαπτομένων τα τρίγωνα APC, APD

είναι όμοια καθώς επίσης και τα BPC, BPD.

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{AP}}{{PC}} = \frac{{AD}}{{AC}} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{BP}}{{PC}} = \frac{{BD}}{{BC}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{AP = PB}$ $\boxed{\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{AC}}}$ (1)

Εξάλλου από τη σχέση εγγεγραμμένης γωνίας και γωνίας χορδής-εφαπτομένης, αλλά και από την παραλληλία

AP||EF,

προκύπτει ότι οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, όπως και οι πράσινες. Άρα το DE FC

είναι εγγράψιμο,

οπότε και οι γαλάζιες γωνίες θα είναι ίσες. Από την ομοιότητα των τριγώνων ABD, ABE

είναι:

$\displaystyle \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{BD}}{{BE}} \Leftrightarrow BE = \frac{{AB \cdot BD}}{{AD}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} BE = \frac{{AB \cdot BC}}{{AC}}.$

Αλλά και τα τρίγωνα ABC, ABF

είναι όμοια οπότε $\displaystyle BF = \frac{{AB \cdot BC}}{{AC}}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Γιώργος Μήτσιος · #11

Καλό απόγευμα!
Πολύ κομψή η ως άνω λύση Γιώργο και ευρέως κατανοητή!

Ας δούμε και την ακόλουθη παραλλαγή

: 29-4 Φιλιππινέζα...png (310.39 KiB) Προβλήθηκε 3243 φορές

Θα δείξουμε ότι οι κύκλοι των B,E,D

και

είναι ίσοι. Έχουμε $2R_{1}=\dfrac{BD}{sin\omega }$ και $2R_{2}=\dfrac{BC}{sin\theta }$ .

Με διαίρεση παίρνουμε $\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{BD}{BC}\cdot \dfrac{sin\theta }{sin\omega }=\dfrac{BD\cdot AC}{BC\cdot AD}=1$ , αφού όπως δείξαμε $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD}{AC}$ .

Άρα R_1=R_2=R

και τότε $\dfrac{BE}{sinx}=2R=\dfrac{BF}{siny}$ , ενώ $x+y=\pi \Rightarrow sinx=siny$

οπότε BE=BF

. Φιλικά, Γιώργος.

Henri van Aubel · #12

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Σάβ Απρ 29, 2023 7:04 pm Καλό απόγευμα!
Πολύ κομψή η ως άνω λύση Γιώργο και ευρέως κατανοητή!
Ας δούμε και την ακόλουθη παραλλαγή
29-4 Φιλιππινέζα...png
Θα δείξουμε ότι οι κύκλοι των και είναι ίσοι. Έχουμε $2R_{1}=\dfrac{BD}{sin\omega }$ και $2R_{2}=\dfrac{BC}{sin\theta }$ .

Με διαίρεση παίρνουμε $\dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{BD}{BC}\cdot \dfrac{sin\theta }{sin\omega }=\dfrac{BD\cdot AC}{BC\cdot AD}=1$ , αφού όπως δείξαμε $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AD}{AC}$ .

Άρα και τότε $\dfrac{BE}{sinx}=2R=\dfrac{BF}{siny}$ , ενώ $x+y=\pi \Rightarrow sinx=siny$

οπότε . Φιλικά, Γιώργος.

Ωραία σκέψη !!

Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα

Μέλη σε σύνδεση