Nα βρεθεί το n...

#1

Έστω τρείς μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί Α,Β,Γ και ο φυσικός n, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση:

$\displaystyle{ (\sin x)^n A + (\cos x)^n B = \Gamma }$
για κάθε χ πραγματικό αριθμό.
Να προσδιορίσετε το n.

papel · #2

#3

Καλώς τον papel.
Ίδιος και απαράλλαχτος...
Άβυσσος η ψυχή του ανθρώπου.
Ευχαριστώ για τη...λύση!!

Math Rider · #4

Από την δοσμένη σχέση
Για x = 0 έχουμε Β – Γ = 0 (1)
Για x = π/2 έχουμε Α – Γ = 0 (2)
Για x = π/4 έχουμε $\displaystyle{ \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n {\rm A} + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n {\rm B} - \Gamma = 0 }$ (3)
Οι εξισώσεις (1), (2) και (3) αποτελούν ένα ομογενές γραμμικό σύστημα με αγνώστους Α, Β, Γ το οποίο έχει μη μηδενικές λύσεις αφού οι Α, Β, Γ είναι μη μηδενικοί. Οπότε η ορίζουσα του θα είναι ίση με μηδέν:

$\displaystyle{ \left| {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & { - 1} \\ 1 & 0 & { - 1} \\ {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n } & {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n } & { - 1} \\ \end{array}} \right| = 0{\rm } \Leftrightarrow {\rm } - \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} \\ {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n } & { - 1} \\ \end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n } & {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n } \\ \end{array}} \right| = 0{\rm } \Leftrightarrow }$
(ανάπτυγμα ως προς τα στοιχεία της πρώτης γραμμής)
$\displaystyle{ 1 - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n - \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n = 0{\rm } \Leftrightarrow {\rm }\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n = \frac{1}{2}{\rm } \Leftrightarrow {\rm }\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2 {\rm } \Leftrightarrow {\rm }n = 2 }$

#5

Νίκο πολύ ωραία επινόηση και λύση .
Σ'ευχαριστώ.
Εγω για να είμαι ειλικρινής δούλεψα όπως αρχικά κι εσύ , είπα πως Α=Β=Γ, τα διέγραψα αφού είναι μη μηδενικά
και στη συνέχεια για χ=π/4 έβγαλα το ποθητόν...

#6

chris_gatos έγραψε:Έστω τρείς μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί Α,Β,Γ και ο φυσικός n, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση:

$\displaystyle{ (\sin x)^n A + (\cos x)^n B = \Gamma }$
για κάθε χ πραγματικό αριθμό.
Να προσδιορίσετε το n.

Θέτουμε $f(x)=A\sin^n x +B \cos^n x -C$ .

Παραγωγίζοντας παίρνουμε

$0=f'(x)=n[A\sin^{n-1} x \cos x -B \cos ^{n-1}x \sin x]$

για κάθε $x\in \mathbf{R}$ , δηλ.

$A\tan^{n-1}x=B\tan{x}$

για κάθε $x\in \mathbf{R}$ με $\cos x\ne 0$ .

Αν $n\ne 2$ , τότε το μη μηδενικό πολώνυμο

$g(t)=At^{n-1}-Bt$

θα είχε άπειρες ρίζες, άτοπο.

Άρα πρέπει n=2

(και

).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Nα βρεθεί το n...

Nα βρεθεί το n...

Re: Nα βρεθεί το n...

Re: Nα βρεθεί το n...

Re: Nα βρεθεί το n...

Re: Nα βρεθεί το n...

Re: Nα βρεθεί το n...

Μέλη σε σύνδεση