Από Βιετνάμ.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: A 1.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 1869 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι το τρίγωνο BDF

είναι ισόπλευρο.

Η άσκηση αφιερώνετε στον συντονιστή του φακέλου Μιχάλη Νάννο.

S.E.Louridas · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Σεπ 12, 2023 9:40 pm A 1.png
Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Η άσκηση αφιερώνετε στον συντονιστή του φακέλου Μιχάλη Νάννο.

Καλημέρα καλημέρα.
Προφανώς και ο συντονιστής του φακέλου που με τιμά με τη φιλία του Μιχάλης Νάννος είναι δύναμη Μαθηματική και όχι μόνο.
Έτσι με τη σειρά μου του αφιερώνω και την άλλου τύπου απόδειξη που ακολουθεί στηριγμένη στο μονοσήμαντο σημείων.

Το τρίγωνο ACE

δίνεται ισόπλευρο. Είναι επίσης καθαρό από τα δεδομένα ότι το σημείο

ανήκει στο περιγεγραμμένο κύκλο (O)

του τριγώνου ACE.

Αν

το σημείο τομής της μεσοκάθετης του

με την

, τότε $\angle EQF = {60^ \circ }.$
Ακόμα αν

το σημείο τομής της ημιευθείας

με τον κύκλο (O)

, τότε έχουμε
$\angle AOL = {30^ \circ }\Rightarrow \left( {\angle ACL = {{15}^ \circ } \wedge \angle LAC = {{45}^ \circ }} \right)\Rightarrow L \equiv B.$
Αν τώρα

είναι το άλλο σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο QFL

με την

παρατηρούμε ότι:
$\angle QSF = \angle QLF = {45^ \circ } \Rightarrow \angle SFE = {45^ \circ } \Rightarrow S \equiv D.$
Όμως το τρίγωνο FLS

είναι ισόπλευρο.

: mn.png (72.31 KiB) Προβλήθηκε 1800 φορές

#3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Σεπ 12, 2023 9:40 pm A 1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Η άσκηση αφιερώνετε στον συντονιστή του φακέλου Μιχάλη Νάννο.

Προφανώς τα τετράπλευρα ABCE, AFEC

είναι εγγράψιμα και AF=FE=DE.

Άρα και το πεντάγωνο

ABCEF

είναι εγγράψιμο, οπότε $\displaystyle F\widehat BA = F\widehat EA = 30^\circ \Rightarrow A\widehat FB = 15^\circ \Leftrightarrow B\widehat FD = 60^\circ$

: Βιετνάμ.ΦΘ.png (30.83 KiB) Προβλήθηκε 1790 φορές

Αλλά, $\displaystyle B\widehat EC = B\widehat AC = 45^\circ ,$ άρα η

είναι μεσοκάθετη του

και επομένως BD=BF,

δηλαδή το

είναι ισόπλευρο.

S.E.Louridas · #4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Σεπ 12, 2023 9:40 pm A 1.png Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Η άσκηση αφιερώνετε στον συντονιστή του φακέλου Μιχάλη Νάννο.

Ας πάμε και σε μία πιο «φυσιολογική» λύση.

Τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα EFD, OFB

είναι ίσα οπότε DF=FB.

Ταυτόχρονα έχουμε: $\angle BFD = {60^ \circ } - {45^ \circ } + \angle BFO = {60^ \circ } - {45^ \circ } + {45^ \circ } = {60^ \circ }.$

: 1mn.png (60.94 KiB) Προβλήθηκε 1773 φορές

STOPJOHN · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Σεπ 12, 2023 9:40 pm A 1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Η άσκηση αφιερώνετε στον συντονιστή του φακέλου Μιχάλη Νάννο.

Eστω ότι

τότε στο τρίγωνο $SEF,SF=\dfrac{d}{2},SE^{2}=\dfrac{3d^{2}}{4},a=d\sqrt{3},DF^{2}=2DE^{2}=\dfrac{2a^{2}}{3},$ Το τρίγωνο AOE

είναι ισοσκελές με ΑΕ=ΟΕ,γιατί
$\hat{AOE}=75=\hat{OAE},$ και το τετράπλευρο ABCF

είναι εγγράψιμο σε κύκλο Οποτε
$\hat{BFC}=\hat{BAC}=45^{0},BF^{2}=2d^{2},$ γιατί $CF^{2}=4d^{2}$ Αρα BF=FD

και $\hat{BFD}=45+15=60$ Συνεπώς το τρίγωνο BFD

είναι ισόπλευρο

Ιστοσελίδα · #6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Σεπ 12, 2023 9:40 pm
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Η άσκηση αφιερώνετε στον συντονιστή του φακέλου Μιχάλη Νάννο.

Καλημέρα. Φάνη, σ’ ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση και Σωτήρη για τα καλά σου λόγια.

: 2023-09-16_7-13-36.jpg (45.7 KiB) Προβλήθηκε 1627 φορές

Το $\triangleleft ACE$ είναι ισόπλευρο, άρα $\angle CAE = {60^ \circ }$

Τα A,B,C,E

είναι ομοκυκλικά $\left( {\angle BAE+ \angle C = {{180}^ \circ }} \right)$ , όπως και τα $A,C,E,F\,\left( {\angle CAF + \angle E = {{180}^ \circ }} \right)$ , οπότε τα A,B,C,E,F

είναι ομοκυκλικά.

Το ACEF

είναι χαρταετός, συνεπώς

διχοτόμος της $\angle ACE = {60^ \circ }$ .

Από πυθαγόρειο στα ορθογώνια και ισοσκελή $\triangleleft BCF,\, \triangleleft EDF$ παίρνουμε: ${a^2} = 2{x^2} = {b^2} \Rightarrow a = b$ και αφού $\angle BFD = {60^ \circ }$ , το $\triangleleft BDF$ θα είναι ισόπλευρο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Τρί Σεπ 12, 2023 9:40 pm A 1.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Η άσκηση αφιερώνετε στον συντονιστή του φακέλου Μιχάλη Νάννο.

είναι εγγράψιμμος χαρταετός (αφού $\angle FEC=90^0$ ) κι επειδή $\angle ABC+AEC=120^0+60^0=180^0$ το ABCE

είναι

εγγράψιμμο ,συνεπώς A,B,C,E,F

ομοκυκλικά και αν

το κέντρο του κύκλου ακτίνας R=FE=ED

θα είναι

$\angle BOF=90^0$ (σχέση επίκεντρης –εγγεγραμμένης) άρα $BF=FD=R\sqrt{2} = \lambda _{4}$

κι επειδή $\angle BFD=120^0-45^0-15^0 \Rightarrow \triangle BDF$ ισόπλευρο

: ισόπλευρο τρίγωνο.png (24.41 KiB) Προβλήθηκε 1568 φορές

Από Βιετνάμ.

Από Βιετνάμ.

Re: Από Βιετνάμ.

Re: Από Βιετνάμ.

Re: Από Βιετνάμ.

Re: Από Βιετνάμ.

Re: Από Βιετνάμ.

Re: Από Βιετνάμ.

Μέλη σε σύνδεση