Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (28.42 KiB) Προβλήθηκε 1312 φορές

Η διχοτόμος

, τριγώνου ABC

, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο

Αν

οι προβολές του

στις πλευρές AB,AC

αντίστοιχα, να δείξετε ότι (ABC) = (AZEK).

Henri van Aubel · #2

$\displaystyle A\overset{\bigtriangleup }EC\sim A\overset{\bigtriangleup }BD:\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AD}$ $\left ( 1 \right )$

$\left ( AZEK \right )=2\left ( AEK \right )=AE\cdot AK\cdot \sin \angle EAK\left ( 2 \right )$

Οπότε $\displaystyle \left ( AZEK \right )=\frac{AB\cdot AC}{AD}\cdot AK\cdot \sin \angle EAK=AB\cdot AC\cdot \cos \angle EAK\cdot \sin \angle EAK=$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle BAC=\left ( ABC \right ).$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Κυρ Νοέμ 12, 2023 5:50 am shape.pngΗ διχοτόμος , τριγώνου , τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο Αν οι προβολές του στις πλευρές αντίστοιχα, να δείξετε ότι

Έστω

Με $EQ \bot AB,EL \bot AC$ τα τρίγωνα BQE,ELC

είναι ίσα ,άρα

$BQ=LC\Rightarrow BQ.DZ=DL.CK \Rightarrow (BDQ)=(DLC)=S$

(AZE)=(AZD)+(ZDE)=(AZD)+(ZDQ)=(ADQ)=(ADB)+S (1)

$(1)+ (2) \Rightarrow (AZEK)=(ABD)+(ADC)=(ABC)$

Αν AC<AB

ή

εργαζόμαστε όμοια

: Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο.png (30.65 KiB) Προβλήθηκε 1257 φορές

S.E.Louridas · #4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Κυρ Νοέμ 12, 2023 5:50 am Η διχοτόμος , τριγώνου , τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο Αν οι προβολές του στις πλευρές αντίστοιχα, να δείξετε ότι

Και μόνο για λόγους πολυφωνίας μετά τις άριστες διαπραγματεύσεις που προηγήθηκαν:

Έστω ότι ο κύκλος (AZDK)

τέμνει την πλευρά

σε σημείο $T:\,\left( {T \ne D} \right) \vee \left( {T \equiv D} \right).$ Εύκολα βλέπουμε ότι $\angle ZTB = \angle ZKD = \angle \frac{A}{2} \Rightarrow ZT\parallel BE \Rightarrow \left( {ZBE} \right) = \left( {TBE} \right),$ ομοίως παίρνουμε $\left( {CKE} \right) = \left( {TCE} \right).$
Άρα έχουμε $\left( {ZBE} \right) + \left( {CKE} \right) = \left( {ECB} \right) \Rightarrow$
$\left( {AZEK} \right) = \left( {ABEC} \right) - \left( {ZBE} \right) - \left( {CKE} \right) = \left( {ABEC} \right) - \left( {ECB} \right) = \left( {ABC} \right).$

: wer.png (88.18 KiB) Προβλήθηκε 1236 φορές

#5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Κυρ Νοέμ 12, 2023 5:50 am shape.pngΗ διχοτόμος , τριγώνου , τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο Αν οι προβολές του στις πλευρές αντίστοιχα, να δείξετε ότι

Στο σχήμα, τα τμήματα του ίδιου χρώματος είναι προφανώς ίσα.

: ΤΙΜΤ.png (23.78 KiB) Προβλήθηκε 1210 φορές

$\displaystyle 2AL = AL + AN = c + BL + b - NC = b + c \Leftrightarrow AL = \frac{{b + c}}{2}$

Από τα όμοια τρίγωνα AZM, AZD, ALE

προκύπτει ότι $\displaystyle AL \cdot DZ = AZ \cdot LE = ZM \cdot AE$

$\displaystyle AL \cdot DZ = ZM \cdot AE = \frac{{b + c}}{2}DZ = \frac{{ZK \cdot AE}}{2} \Leftrightarrow \frac{{b \cdot DK}}{2} + \frac{{c \cdot DZ}}{2} = (AZEK) \Leftrightarrow$

$\boxed{(ABC)=(AZEK)}$

Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο

Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο

Re: Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο

Re: Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο

Re: Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο

Re: Τρίγωνο ισεμβαδικό με τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση