4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R.

Φέρνουμε χορδή $\Gamma \Delta =2\lambda$ παράλληλη στην AB.

Ζητείται να βρεθεί
α) ο όγκος που παράγεται από το μικτόγραμμο χωρίο $AB\Gamma \Delta A$ όταν περιστραφεί γύρω από την AB.

β) ποια σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των

και $\lambda$ ώστε ο όγκος που παράγεται από το κυκλικό τμήμα
που αντιστοιχεί στο μικρό τόξο χορδής $\Gamma \Delta$ να είναι το μισό του όγκου που παράγεται από το ημικύκλιο, όταν περιστραφούν
και τα δύο γύρω από την AB.

Κάθε τεκμηριωμένη λύση γίνεται δεκτή. Αυτό ίσχυε και το 1948, ισχύει και τώρα...

Kατόπιν υπόδειξης του Κώστα Δόρτσιου διόρθωσα το $\Gamma \Delta$ αντί

στο β).
Moυ ξέφυγε, ευχαριστώ Κώστα.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2023 7:49 pm
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου Φέρνουμε χορδή $\Gamma \Delta =2\lambda$ παράλληλη στην
Ζητείται να βρεθεί
α) ο όγκος που παράγεται από το μικτόγραμμο χωρίο $AB\Gamma \Delta A$ όταν περιστραφεί γύρω από την
β) ποια σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των και $\lambda$ ώστε ο όγκος που παράγεται από το κυκλικό τμήμα
που αντιστοιχεί στο μικρό τόξο χορδής να είναι το μισό του όγκου που παράγεται από το ημικύκλιο, όταν περιστραφούν
και τα δύο γύρω από την

Κάθε τεκμηριωμένη λύση γίνεται δεκτή. Αυτό ίσχυε και το 1948, ισχύει και τώρα...

Τηλέμαχε καλημέρα...

Το πρόβλημα είναι υπολογιστικό, όμως έχει ενδιαφέρον και ομορφιά
στην γραφική του παρουσίαση..., και βέβαια είναι μια αναδρομή στο 1948,
ένα χρόνο πριν λήξει στη χώρα μας ο εμφύλιος πόλεμος, με ό,τι από αυτό
μπορεί κανείς να συλλογιστεί σήμερα!

Ας δούμε πρώτα το σχήμα που περιγράφεται στην εκφώνηση:

: 4ο Θέμα Γεωμετρίας ΕΜΠ 1948 2.png (7.93 KiB) Προβλήθηκε 4265 φορές

Είναι:

$\displaystyle{OA=OB=R, \ \ CD=2l \ \ CD//AB }$

άρα

$\displaystyle{d=HC=ZD=\sqrt{R^2-l^2} }$

Ερώτημα α

Μετά την περιστροφή του χωρίου $\displaystyle{ABCDA}$ , γύρω από τον άξονα που ορίζει η διάμετρος $\displaystyle{AB}$ προκύπτει:

: 4ο Θέμα Γεωμετρίας ΕΜΠ 1948 5.png (40.02 KiB) Προβλήθηκε 4265 φορές

ή καλύτερα:

: 4ο Θέμα Γεωμετρίας ΕΜΠ 1948 1.png (68.01 KiB) Προβλήθηκε 4265 φορές

Δηλαδή τα σχήματα που προέκυψαν είναι ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος

και δυο μονοβασικά σφαιρικά τμήματα.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

Al.Koutsouridis · #3

Ενδιαφέρον έχει επίσης , ότι ο όγκος της "φλούδας" πλάτους $2 \lambda$ ( ό όγκος του σχήματος εκ περιστροφής που προκύπτει από την καμπύλη DCED

στο σχήμα του κ. Κώστα στην προηγούμενη δημοσίευση), είναι ανεξάρτητος της ακτίνας της σφαίρας και δίνεται από την σχέση

$V_{\phi}=\dfrac{4}{3} \pi \lambda^3$

(βλέπε π.χ. εδω).

Οπότε και ο ζητούμενος όγκος του σχήματος, που ζητάει η άσκηση είναι $V=\dfrac{4}{3} \pi \left (R^3- \lambda^3 \right )$ .

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2023 7:49 pm
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου Φέρνουμε χορδή $\Gamma \Delta =2\lambda$ παράλληλη στην
Ζητείται να βρεθεί
α) ο όγκος που παράγεται από το μικτόγραμμο χωρίο $AB\Gamma \Delta A$ όταν περιστραφεί γύρω από την
β) ποια σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των και $\lambda$ ώστε ο όγκος που παράγεται από το κυκλικό τμήμα
που αντιστοιχεί στο μικρό τόξο χορδής να είναι το μισό του όγκου που παράγεται από το ημικύκλιο, όταν περιστραφούν
και τα δύο γύρω από την

Κάθε τεκμηριωμένη λύση γίνεται δεκτή. Αυτό ίσχυε και το 1948, ισχύει και τώρα...
[/quote

(Συνέχεια...)

Καλημέρα...

Αναφέρομαι στο πρώτο σχήμα της πρώτης μου ανάρτησης. Δηλαδή:

4ο Θέμα Γεωμετρίας ΕΜΠ 1948 2.png (7.93 KiB) Προβλήθηκε 3827 φορές

Σ' αυτό, όπως αναφέρθηκε είναι:

$\displaystyle{OA=R, \ \ CD=2l, \ \ d=HC=\sqrt{R^2-l^2} \ \ (1) }$

Επομένως ο όγκος του κυλίνδρου είναι:

$\displaystyle{V_(kyl)=\pi\cdot d^2\cdot2l=2\pi(R^2-l^2)l \ (2)}$

Επίσης ο όγκος του σφαιρικού τμήματος με ακτίνα ίση με $\displaystyle{d=HC}$ και ύψος το $\displaystyle{HB=R-l}$ είναι:

$\displaystyle{V_(spher. tm)=\frac{1}{2}\pi d^2(R-l)+\frac{1}{6}\pi(R-l)^3=\frac{1}{2}\pi (R^2-l^2)(R-l)+\frac{1}{6}\pi(R-l)^3 \ \ (3)}$

Επομένως ο συνολικός όγκος που δημιουργείται κατά την πλήρη περιστροφή της κλειστής γραμμής $\displaystyle{ABCDA}$ θα είναι:

$\displaystyle{V_(oliko)=V_(kyl)+2V_(spher.tm) \ \ (4)}$

Αντικαθιστώντας τις τιμές των τύπων (2) και (3) στον τύπο (4) και μετά από πράξεις θα είναι:

$\displaystyle{V_(oliko)=\frac{4}{3}\pi(R^3-l^3) \ \ (5) }$

- Θυμίζω τους τύπους των όγκων κυλίνδρου και σφαιρικού τμήματος με μια βάση:

$\displaystyle{V_(kyl)=\pi R^2 h}$

$\displaystyle{V_(spher.tm)=\frac{1}{2} \pi r^2 h+\frac{1}{6} \pi h^3 }$

- Κι ακόμα: Ο τύπος (5) είναι ο ίδιος που βρήκε ο Αλέξανδρος με μια πιο απλή σκέψη.

Κώστας Δόρτσιος

(συνεχίζεται...)

Al.Koutsouridis · #5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2023 7:49 pm
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου Φέρνουμε χορδή $\Gamma \Delta =2\lambda$ παράλληλη στην
Ζητείται να βρεθεί
α) ο όγκος που παράγεται από το μικτόγραμμο χωρίο $AB\Gamma \Delta A$ όταν περιστραφεί γύρω από την
β) ποια σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των και $\lambda$ ώστε ο όγκος που παράγεται από το κυκλικό τμήμα
που αντιστοιχεί στο μικρό τόξο χορδής να είναι το μισό του όγκου που παράγεται από το ημικύκλιο, όταν περιστραφούν
και τα δύο γύρω από την

Κάθε τεκμηριωμένη λύση γίνεται δεκτή. Αυτό ίσχυε και το 1948, ισχύει και τώρα...

Θεωρούμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στον χώρο με αρχή των αξόνων το κέντρο του κύκλου και άξονα

την ευθεία

. Θα βρούμε αρχικά τον όγκο $V_{\phi}$ , που παράγεται από το κυκλικό τμήμα που αντιστοιχεί στο έλλασον τόξο της χορδής

όταν αυτό περιστραφεί γύρο από τον άξονα

.

Η εξίσωση του τόξου

δίνεται από την συνάρτηση $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ και η εξίσωση της χορδής

από την σταθερή συνάρτηση $g(x)=\sqrt{R^2-\lambda^2}$ . Οπότε ο ζητούμενος όγκος θα δίνεται από το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{V_{\phi}= \pi \int_{-\lambda}^{\lambda} \left (f(x)^2-g(x)^2 \right) dx = \pi \int_{-\lambda}^{\lambda}\left ( (R^2-x^2) -(R^2-\lambda^2) \right) dx =\pi \int_{-\lambda}^{\lambda} (\lambda ^2 -x^2)dx =}$

$\displaystyle{= \pi \left ( \lambda^2 \left [ x \right ]_{-\lambda}^{\lambda} -\left [ \dfrac{x^3}{3} \right ]_{-\lambda}^{\lambda} \right )=\pi \left ( 2\lambda^3 -\dfrac{2}{3} \lambda^3 \right ) = \dfrac{4}{3} \pi \lambda^3}$

Επομένος για να είναι αυτός ο όγκος ο μισός του όγκου του ημικύκλιου όταν αυτό περιστραφεί (σφαίρα ακτίνας

) θα πρέπει

$\dfrac{4}{3} \pi \lambda^3 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow \lambda = \dfrac{R}{\sqrt[3]{2}}$ .

Ο δε όγκος

, που παράγει το μικτόγραμμο χωρίο ABCDA

όταν περιστραφεί γύρο από την ευθεία

, θα είναι

$V= \dfrac{4}{3} \pi R^3 - \dfrac{4}{3} \pi \lambda^3 = \dfrac{4}{3} \pi \left ( R^3-\lambda^3\right)$ .

: emp_1948.png (600.75 KiB) Προβλήθηκε 3668 φορές

Συμπέρασμα: προσοχή σε κοσμηματοπώλη που προσπαθεί να πουλήσει ένα δαχτυλίδι σε μεγαλύτερη τιμή, μόνο και μόνο, επειδή φαίνεται μεγαλύτερο.

#6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2023 7:49 pm
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου Φέρνουμε χορδή $\Gamma \Delta =2\lambda$ παράλληλη στην
Ζητείται να βρεθεί
α) ο όγκος που παράγεται από το μικτόγραμμο χωρίο $AB\Gamma \Delta A$ όταν περιστραφεί γύρω από την
β) ποια σχέση πρέπει να υπάρχει μεταξύ των και $\lambda$ ώστε ο όγκος που παράγεται από το κυκλικό τμήμα
που αντιστοιχεί στο μικρό τόξο χορδής (*) να είναι το μισό του όγκου που παράγεται από το ημικύκλιο, όταν περιστραφούν
και τα δύο γύρω από την

Κάθε τεκμηριωμένη λύση γίνεται δεκτή. Αυτό ίσχυε και το 1948, ισχύει και τώρα...

(Τελευταίο...)

Καλημέρα...

Κατ' αρχήν η πρόταση με (*) και χρωματισμένη με κόκκινο θα πρέπει αντί της χορδης $\displaystyle{AB}$

να γραφεί η χορδή $\displaystyle{CD}$ .

Ερώτημα β

Ο σφαιρικός δακτύλιος που αναφέρεται φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Όγκος σφαιρικού δακτυλίου .png (59.97 KiB) Προβλήθηκε 3246 φορές

Είναι γνωστό ότι ο τύπος που δίνει τον όγκο ενός σφαιρικού δακτυλίου είναι:

$\displaystyle{V_(sph.dactyl)=\frac{1}{6} \pi (AB)^2 (A'B') \ \ (6) }$

όπου $\displaystyle{AB}$ είναι το μήκος της περιστεφόμενης χορδής και $\displaystyle{A'B'}$ το μήκος της

προβολής αυτής στη διάμετρο περιστροφής.

Άρα στην περίπτωσή μας είναι:

$\displaystyle{V_(sph. dactyl)=\frac{1}{6} \pi (2l)^2 (2l)=\frac{4}{3} \pi l^3 \ \ (7)}$

Ο όγκος της σφαίρας είναι:

$\displaystyle{V_(sph)=\frac{4}{3} \pi R^3 \ \ (8) }$

Επειδή θέλουμε να είναι:

$\displaystyle{V_(sph.dactyl)=\frac{1}{2}V_(sph) }$

θα είναι:

$\displaystyle{\frac{4}{3} \pi l^3=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \ \ (9) }$

Άρα:

$\displaystyle{l=\frac{R}{\sqrt[3]{2}} \ \ (10) }$

Κι ακόμα:

$\displaystyle{R=l \sqrt[3]{2} \ \ (11) }$

Σημείωση

Ο τύπος (11) θυμίζει το Δήλιο πρόβλημα! Δηλαδή το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου.

Στην προκειμένη περίπτωση η τιμή του $\displaystyle{l}$ που βρέθηκε από την (10) ικανοποιεί την πρόταση:

Η σφαίρα αυτή έχει διπλάσιο όγκο του αντίστοιχου δακτυλίου καθώς επίσης και ο κύβος με ακμή

την ακτίνα της σφαίρας αυτής είναι διπλάσιος του κύβου με ακμή τη χορδή μήκου ίσου με $\displaystyle{l}$ .

Τέλος παραθέτω και το δυναμικό σχήμα στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/pr9ga4tc

Κώστας Δόρτσιος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

Κατ΄αρχήν οφείλω να ευχαριστήσω τους Κώστα Δόρτσιο και Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις λύσεις τους, για τα όσα

έγραψαν με αφορμή το θέμα που βρήκα και πρότεινα.

Ο Κώστας και ο Αλέξανδρος είναι οι δύο συνοδοιπόροι μου στα δύσβατα μονοπάτια της Στερεομετρίας.

Τώρα μπορώ να γράψω το λόγο που πρότεινα ένα θέμα τόσο πολύ παλιό.

Όπως έδειξε η δεύτερη δημοσίευση του Αλέξανδρου, το θέμα μπορεί να αντιμετωπιστεί με Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Άρα δεν είναι παρωχημένο, άνετα μπορεί να δοθεί σε πρωτοετείς φοιτητές του σήμερα.

Η παρέμβαση του Κώστα Δόρτσιου δείχνει το πώς αντιμετώπιζε το θέμα ο υποψήφιος του 1948, που ασφαλώς δεν είχε ιδέα από ολοκληρώματα.

Νομίζω ότι το θέμα αυτό προσπαθεί να γεφυρώσει το χάσμα ανάμεσα σε παρελθόν και παρόν.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 01, 2023 11:23 am
... ο όγκος της "φλούδας" πλάτους $2 \lambda$ ..., είναι ανεξάρτητος της ακτίνας της σφαίρας και δίνεται από την σχέση

$V_{\phi}=\dfrac{4}{3} \pi \lambda^3$

Αν θυμάμαι καλά, ο πρώτος που απέδειξε το παραπάνω είναι ο Bonaventura Cavalieri στο έργο του Geometria Indivisibilibus (1635) όπου εισήγαγε την επονομαζόμενη σήμερα "Aρχή του Cavalieri". Η τεχνική του είναι να αποδείξει οτι κάθε ζεύγος από "φέτες" που αποκόπτεται σε δύο στερεά από ένα επίπεδο (οι κόκκινες περιοχές στο σχήμα) είναι ίσες. Πράγματι, αν το επίπεδο είναι σε ύψος

από τα κέντρα των σφαιρών (αριστερά ακτίνας

και δεξιά $\lambda$ ) τότε οι τρεις κύκλοι του σχήματος έχουν ακτίνες $\sqrt {R^2-\lambda ^2}, \, \sqrt {R^2-h^2}, \, \sqrt {\lambda ^2 -h^2}$ , αντίστοιχα.

Άρα το δακτυλίδι αριστερά έχει εμβαδόν $\pi (R^2-h^2) - \pi (R^2-\lambda ^2)= \pi (\lambda ^2-h^2)$ και ο κύκλος δεξιά $\pi (\lambda ^2 -h^2)$ , δηλαδή ίσο με το δακτυλίδι.

Από την Αρχή του Cavalieri, ο όγκος της "φλούδας" αριστερά είναι όσο της σφαίρας ακτίνας $\lambda$ , δεξιά.

4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΛ.ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΜΠ 1948

Μέλη σε σύνδεση