Από εξέταση Απειροστικού Λογισμού Ι

[Ορέστης Λιγνός]

Το παρακάτω θέμα αποτέλεσε (αλλαγμένο) το τελευταίο εξέτασης Απ. Λογισμού Ι στο Τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ. Το βρήκα ενδιαφέρον.

Έστω μη τετριμμένο διάστημα, παραγωγίσιμες συναρτήσεις με για κάθε και το σύνολο

.

Αφού δείξετε ότι το σύνολο είναι καλώς ορισμένο, να αποδείξετε επιπλέον ότι:

i) το σύνολο είναι πυκνό στο και
ii) τα σύνολα είναι διαστήματα.

[Mihalis_Lambrou]

Το παρακάτω θέμα αποτέλεσε (αλλαγμένο) το τελευταίο εξέτασης Απ. Λογισμού Ι στο Τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ. Το βρήκα ενδιαφέρον.

Έστω μη τετριμμένο διάστημα, παραγωγίσιμες συναρτήσεις με για κάθε και το σύνολο

.

Αφού δείξετε ότι το σύνολο είναι καλώς ορισμένο, να αποδείξετε επιπλέον ότι:

i) το σύνολο είναι πυκνό στο και
ii) τα σύνολα είναι διαστήματα.

Καλημέρα Ορέστη.

Aπό θεώρημα Rolle υπάρχει με . Ειδικά, ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται αφού , και άρα το είναι καλά ορισμένο.

i) Για κάθε σταθερό έχουμε . Από αυτό έχουμε την ζητούμενη πυκνότητα του στο .

ii) Για κάθε σταθερό , η συνάρτηση του με τύπο στο διάστημα είναι συνεχής. Άρα η εικόνα του είναι διάστημα. Ας το πούμε . Tα διαστήματα αυτά είναι κιβωτισμένα διότι αν έχουμε προφανώς αφού . Tώρα από αυτό και επειδή

έπεται ότι το είναι διάστημα. Εδώ χτησιμοποίησα την ιδιότητα ότι αν δύο διαστήματα έχουν μη κενή τομή, τότε η ένωσή τους είναι και αυτή διάστημα.

Από την πυκνότητα του στο έπεται ότι και το είναι διάστημα.

[stranger]

Το παρακάτω θέμα αποτέλεσε (αλλαγμένο) το τελευταίο εξέτασης Απ. Λογισμού Ι στο Τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ. Το βρήκα ενδιαφέρον.

Έστω μη τετριμμένο διάστημα, παραγωγίσιμες συναρτήσεις με για κάθε και το σύνολο

.

Αφού δείξετε ότι το σύνολο είναι καλώς ορισμένο, να αποδείξετε επιπλέον ότι:

i) το σύνολο είναι πυκνό στο και
ii) τα σύνολα είναι διαστήματα.

Καλημέρα Ορέστη.

Aπό θεώρημα Rolle υπάρχει με . Ειδικά, ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται αφού , και άρα το είναι καλά ορισμένο.

i) Για κάθε σταθερό έχουμε . Από αυτό έχουμε την ζητούμενη πυκνότητα του στο .

ii) Για κάθε σταθερό , η συνάρτηση του με τύπο στο διάστημα είναι συνεχής. Άρα η εικόνα του είναι διάστημα. Ας το πούμε . Tα διαστήματα αυτά είναι κιβωτισμένα διότι αν έχουμε προφανώς αφού . Tώρα από αυτό και επειδή

έπεται ότι το είναι διάστημα. Εδώ χτησιμοποίησα την ιδιότητα ότι αν δύο διαστήματα έχουν μη κενή τομή, τότε η ένωσή τους είναι και αυτή διάστημα.

Από την πυκνότητα του στο έπεται ότι και το είναι διάστημα.

Η πυκνότητα διδάσκεται για πρώτη φορά στο μάθημα της πραγματικής ανάλυσης.
Λίγο δύσκολο να είναι από εξέταση απειροστικού λογισμού Ι.

[Mihalis_Lambrou]

Η πυκνότητα διδάσκεται για πρώτη φορά στο μάθημα της πραγματικής ανάλυσης.
Λίγο δύσκολο να είναι από εξέταση απειροστικού λογισμού Ι.

Δεν ξέρω από πρώτο χέρι πότε ακριβώς διδάσκεται η πυκνότητα στο Μαθηματικό Αθηνών, αλλά σίγουρα ο Απειροστικός Λογισμός Ι είναι εκεί πολύ υψηλής στάθμης. Για παράδειγμα παρατηρώ ότι στο βιβλίο που χρησιμοποιούν (Απειροστικός Λογισμός Ι, των Νεγραπόντη κ.α.) η πυκνότητα των ρητών αριθμών εμφανίζεται, με απόδειξη, μόλις στην σελίδα 34. Δεν αμφιβάλλω, λοιπόν, ότι η παραπάνω άσκηση είναι συμβατή με το μάθημα.

[stranger]

Η πυκνότητα διδάσκεται για πρώτη φορά στο μάθημα της πραγματικής ανάλυσης.
Λίγο δύσκολο να είναι από εξέταση απειροστικού λογισμού Ι.

Δεν ξέρω από πρώτο χέρι πότε ακριβώς διδάσκεται η πυκνότητα στο Μαθηματικό Αθηνών, αλλά σίγουρα ο Απειροστικός Λογισμός Ι είναι εκεί πολύ υψηλής στάθμης. Για παράδειγμα παρατηρώ ότι στο βιβλίο που χρησιμοποιούν (Απειροστικός Λογισμός Ι, των Νεγραπόντη κ.α.) η πυκνότητα των ρητών αριθμών εμφανίζεται, με απόδειξη, μόλις στην σελίδα 34. Δεν αμφιβάλλω, λοιπόν, ότι η παραπάνω άσκηση είναι συμβατή με το μάθημα.

Ίσως είναι από τα πολύ παλιά χρόνια.

[M.S.Vovos]

Το θέμα που δώθηκε, όπως αναφέρει σωστά ο Ορέστης, δεν είναι αυτό στο αρχικό post του Ορέστη. Ο Ορέστης όμορφα το συμπύκνωσε. Τα θέματα τα επιμελήθηκε ο κ. Γιαλλέλης και δώθηκε με πολλαπλά ερωτήματα που εμπεριέχονται στην πυκνότητα, αλλά δεν υπήρχε καμία αναφορά σε αυτήν λόγω της ασυμβατότητας της με την ύλη του Απειροστικού λογισμού Ι στο ΕΚΠΑ τα τελευταία τουλάχιστον 10 χρόνια. Η πυκνότητα διδάσκεται στο Μαθηματικό Αθήνας στο μάθημα "Πραγματική Ανάλυση" όπως προαναφέρθηκε από τον συνάδελφο.