Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Dimessi · #2

orestisgotsis έγραψε: Τρί Ιαν 09, 2024 12:56 pm Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι .png

Τριγώνου $ABC\,\,$ το έγκεντρο είναι $I\,\,$ και $\left( O \right)$ ο περίκυκλός του. είναι το μέσο

του τόξου $BC\,\,$ που δεν περιέχει το και το είναι το μέσο του τόξου $BAC\,\,$ .

είναι το μέσο του $KI\,\,$ και είναι το μέσο του $LM\,\,$ . είναι το σημείο επαφής

του έγκυκλου με την $BC\,\,$ ενώ το $S\,\,$ είναι το δεύτερο σημείο τομής του $KD\,\,$ με τον

κύκλο $\left( A,B,C \right)\,\,$ . Δείξτε ότι ο κύκλος $\left( I,S,D \right)$ εφάπτεται του κύκλου $\left( A,M,N \right)$ .

: Πολύ όμορφο πρόβλημα εξ επαφής.png (62.79 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές

Πολύ όμορφο θέμα Ορέστη!!

Είναι $\displaystyle \angle KAC\overset{ABKC\epsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o}=\angle KBC\overset{KB=KC}=\frac{180^\circ-\angle BKC}{2}=\frac{\angle BAC}{2}=\angle IAC,$ άρα τα σημεία A,I,K

είναι συνευθειακά. Ως γνωστό $\displaystyle \angle MAL\equiv \angle KAL=90^\circ\overset{NM=NL}\Rightarrow NA=NM=NL.$ Αφού $\displaystyle KI=KB\overset{\angle KBD=\angle BSK}=\sqrt{KD\cdot KS},$ άρα η ευθεία

εφάπτεται του κύκλου $\left ( ISD \right ).$ Επομένως, η ευθεία

εφάπτεται του κύκλου $\left ( ISD \right ).$ Θεωρούμε την αντιστροφή πόλου

και ακτίνας NA=NM=NL.

Ο κύκλος $\left ( ANM \right )$ γίνεται η ευθεία AM.

Ισχυρισμός: Ο κύκλος $\left ( ISD \right )$ παραμένει σταθερός.
Απόδειξη:Εργαζόμαστε στο αρχικό σχήμα στον ισχυρισμό. Έστω

το κέντρο του κύκλου $\left ( ISD \right ).$ Αφού η ευθεία

εφάπτεται του κύκλου $\left ( ISD \right ),$ άρα $QI\perp IM.$ Επομένως $\displaystyle QN^{2}-NM^{2}=QM^{2}-2QM\cdot MN\cdot \cos \angle QMN,$ όπου $\displaystyle \cos \angle QMN=\cos \left ( \angle QMI+\angle AML \right )=\frac{IM}{QM}\cdot \frac{AM}{2NM}-\frac{IQ}{QM}\cdot \frac{AL}{2NM}=\frac{IM\cdot AM-IQ\cdot AL}{2QM\cdot NM}.$ Επομένως $\displaystyle \boxed{QN^{2}-NM^{2}=IQ^{2}+IM^{2}-IM\cdot AM+IQ\cdot AL=IQ^{2}+IQ\cdot AL-IM\cdot AI}\left ( 1 \right ).$ Θεωρούμε την αντιστροφή πόλου

και ακτίνας KI.

Αφού $\displaystyle KI=\sqrt{KD\cdot KS},$ το

πηγαίνει στο

Το

πηγαίνει στο ίχνος της διχοτόμου της γωνίας $\angle BAC$ πάνω στην BC,

έστω

και το

παραμένει σταθερό. Επομένως $\displaystyle \angle ASI=\angle XDI=90^\circ\Rightarrow \angle ISD=\angle ASK-90^\circ=\frac{\angle A}{2}+\angle B-90^\circ,$ συνεπώς $\displaystyle \boxed{IQ=R_{ISD}=\frac{ID}{2\sin \angle ISD}=\frac{ID}{\displaystyle 2\sin \left ( \frac{A}{2}+B-90^\circ \right )}=\frac{ID}{\displaystyle 2\cos \left ( \frac{A}{2}+C \right )}}\left ( 2 \right ).$ Είναι $\displaystyle \frac{IQ\cdot AL}{IM\cdot AI}\overset{\left ( 2 \right )}=\frac{ID\cdot AL}{\displaystyle 2IM\cdot AI\cdot \cos \left ( \frac{A}{2}+C \right )}=\frac{ID\cdot AL}{\displaystyle AI\cdot IK\cdot \cos \left ( \frac{A}{2}+C \right )}\left ( 3 \right ).$ Αφού $\displaystyle \frac{ID}{AI}=\frac{ID}{BI}\cdot \frac{BI}{AI}=\frac{\displaystyle \sin \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}{\displaystyle \sin \frac{B}{2}}=\sin \frac{A}{2}$ και $\displaystyle \frac{AL}{KI}=\frac{AL}{AC}\cdot \frac{AC}{KC}=\frac{\displaystyle \cos \left ( \frac{A}{2}+C \right )\sin B}{\displaystyle \sin \frac{A}{2}\sin B},$ άρα $\displaystyle \frac{IQ\cdot AL}{IM\cdot AI}\overset{\left ( 3 \right )}=1\Rightarrow IQ\cdot AL=IM\cdot AI\overset{\left ( 1 \right )}\Rightarrow QN^{2}-NM^{2}=IQ^{2}=R_{ISD}^{2},$ άρα $\displaystyle Pow\left ( N,\left ( Q \right ) \right )=QN^{2}-R^{2}_{ISD}=NM^{2},$ άρα ο κύκλος $\left ( ISD \right )$ παραμένει σταθερός στην αντιστροφή πόλου

και ακτίνας NM,

αφού η δύναμη του

ως προς τον κύκλο $\left ( ISD \right )$ ισούται με το τετράγωνο της ακτίνας της αντιστροφής.
Πίσω στο πρόβλημα τώρα, στην αντιστροφή πόλου

και ακτίνας NM,

o κύκλος $\left ( ANM \right )$ γίνεται η ευθεία

και ο κύκλος $\left ( ISD \right )$ παραμένει σταθερός και αφού στο αρχικό σχήμα η ευθεία

εφάπτεται του κύκλου $\left ( ISD \right ),$ άρα στο αρχικό σχήμα οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ANM

και

εφάπτονται.

: Πολύ όμορφο πρόβλημα εξ επαφής.png (62.79 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές

Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι

Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Δύο εφαπτόμενοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση