Σημείο Lemoine και έγκεντρο

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ με πλευρές a=BC,b=AC,c=AB

Έστω

αντίστοιχα το έγκεντρο του τριγώνου και το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων του (σημείο Lemoine).

Αν γνωρίζουμε τα ακόλουθα:
1. a=1

2. από τα

διέρχεται ευθεία παράλληλη στην πλευρά

,

να υπολογιστεί η παράσταση $\frac{b^2+c^2}{b+c}$

Σημείωση
Ο συμβολισμός X_i

αναφέρεται στην ταξινόμηση των κέντρων του τριγώνου όπως αυτή λαμβάνει χώρα στην Εγκυκλοπέδια Κέντρων Τριγώνου του Clark Kimberling (https://faculty.evansville.edu/ck6/ency ... a/ETC.html)

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 18, 2024 10:06 pm
Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ με πλευρές
Έστω αντίστοιχα το έγκεντρο του τριγώνου και το σημείο τομής των συμμετροδιαμέσων του (σημείο Lemoine).

Αν γνωρίζουμε τα ακόλουθα:
1.
2. από τα διέρχεται ευθεία παράλληλη στην πλευρά ,

να υπολογιστεί η παράσταση $\frac{b^2+c^2}{b+c}$

Σημείωση
Ο συμβολισμός αναφέρεται στην ταξινόμηση των κέντρων του τριγώνου όπως αυτή λαμβάνει χώρα στην Εγκυκλοπέδια Κέντρων Τριγώνου του Clark Kimberling (https://faculty.evansville.edu/ck6/ency ... a/ETC.html)

Έστω

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,

η απόσταση του σημείου Lemoine από την

και

το εμβαδόν του τριγώνου. Ως γνωστόν $\displaystyle x = \frac{{2aE}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$ και λόγω της παραλληλίας είναι x=r.

$\displaystyle \frac{{2aE}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = r \Leftrightarrow \frac{{a(a + b + c)r}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = r\mathop \Leftrightarrow \limits^{a = 1} {b^2} + {c^2} = b + c \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{b^2+c^2}{b+c}=1}$

Σημείο Lemoine και έγκεντρο

Σημείο Lemoine και έγκεντρο

Re: Σημείο Lemoine και έγκεντρο

Μέλη σε σύνδεση