Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές

Achilleasmath · #1

Βρήκα αυτό το πρόβλημα σε ένα βιβλίο. Μάλλον πρέπει να χρησιμοποιήσω Chebyshev ή Central Limit Theorem. Θα εκτιμούσα πολύ οποιαδήποτε βοήθεια.

The task is to numerically estimate an integral. Here is the setting: suppose $\psi(x)$ is a bounded real-valued function, $|\phi(x)| \leq 1$ , defined on the unit interval $0 \leq x \leq 1$ . You are not told anything more about the function $\psi(\cdot)$ explicitly but you have access to a friendly oracle: if you prompt her with any given value x = x_0

, she will loop up the function value $\psi(x_0)$ and whisper it to you. Your task is to estimate the value $J = \int_{0}^{1} \psi(x)dx$ . \newline
Select X_1, ..., X_n

independently at random from the uniform distribution on the unit interval, obtain the values $\psi(X_1), ..., \psi(X_n)$ from your friendly oracle, and boldly evaluate and proffer the value $\hat{J_n} := \frac{1}{n} [\psi(X_1) + ...+\psi(X_n)]$ as your estimate of

. A common, garden variety laptop can compute your estimate $\hat{J_n}$ in a fraction of a second if n = 10^6

but is it any good? In defence of your starting procedure, with n = 10^6

, estimate $P\{|\hat{J_{10^6}} - J| \geq 0.01\}$ , the probability that your estimate makes an error of more than one percent. [Hint: if $X \sim$ Uniform[0,1], stare at the expression for $E(\psi(X))$ ]

nickolas tsik · #2

Καλησπέρα και καλή ανάσταση. Αν και λιγο μπερδεμένη η άσκηση, ορίστε μια προσέγγιση που σκέφτηκα χρησιμοποιώντας την chebychev.

Έχουμε το ολοκλήρωμα $J = \int_{0}^{1} \psi(x) \, dx$ , όπου $\psi(x)$ είναι μια φραγμένη πραγματική συνάρτηση, και $|\phi(x)| \leq 1$ ορισμένη στο διάστημα μονάδας $0 \leq x \leq 1$ .

να εκτιμήσουμε το

. Θα επιλέξουμε τυχαία $X_1, X_2, \ldots, X_{10^6}$ από μια ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα μονάδας και θα λάβουμε τις τιμές $\psi(X_1), \psi(X_2), \ldots, \psi(X_{10^6})$

Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε την εκτίμηση $\tilde{J}_{10^6}$ ως:

$\displaystyle \tilde{J}_{10^6} = \frac{1}{10^6} \left( \psi(X_1) + \psi(X_2) + \ldots + \psi(X_{10^6}) \right)$

Τώρα, ας υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή και τη διακύμανση της $\psi(x)$ .

Η αναμενόμενη τιμή $E(\psi(x))$ είναι το ολοκλήρωμα της $\psi(x)$ από 0 έως 1:

$\displaystyle E(\psi(x)) = \int_{0}^{1} \psi(x) \, dx = J$

Η διακύμανση $Var(\psi(x))$ μπορεί να υπολογιστεί ως:

$\displaystyle Var(\psi(x)) = E(\psi(x)^2) - (E(\psi(x)))^2$

Λαμβάνοντας υπόψη ότι $|\phi(x)| \leq 1$ , έχουμε $|\psi(x)|^2 \leq 1$ , που σημαίνει $E(\psi(x)^2) \leq 1$ . Έτσι:

$\displaystyle Var(\psi(x)) \leq 1 - J^2$

Η τυπική απόκλιση $\sigma$ είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης: $\sigma = \sqrt{Var(\psi(x))}$ .

Τώρα, εφαρμόζοντας το ανισότερο του Chebyshev:

$\displaystyle P(|\tilde{J}_{10^6} - J| \geq \epsilon) \leq \frac{Var(\psi(x))}{n\epsilon^2}$

Εισάγοντας τις παραπάνω εκφράσεις:

$\displaystyle P(|\tilde{J}_{10^6} - J| \geq \epsilon) \leq \frac{1 - J^2}{(10^6)\epsilon^2}$

Δεδομένου $\epsilon = 0.01$ , μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος.

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές

Re: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές

Μέλη σε σύνδεση