Όριο ρητής και μέγιστο

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε την μέγιστη τιμή του f(1)

της συνάρτησσης f(x)=x^3+ax^2+bx+4

, όπου

ακέραιοι τέτοιοι, ώστε η συνάρτηση να ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη: για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ υπάρχει η τιμή του ορίου

$\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} \dfrac{f(2x+1)}{f(x)} }$ .

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

Θα λύσουμε την άσκηση ερμηνεύοντας το

"υπάρχει η τιμή του ορίου $\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} \dfrac{f(2x+1)}{f(x)} }$ "

ως

"το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} \dfrac{f(2x+1)}{f(x)}}$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός ή $\pm\infty$ "

Αναγκαίο
Επειδή η

είναι τρίτου βαθμού πολυωνυμική συνάρτηση θα έχει είτε μια απλή πραγματική ρίζα ή τρεις πραγματικές ρίζες (όχι απαραίτητα διαφορετικές μεταξύ τους)
Παρατηρούμε ότι δεν μπορεί να υπάρχουν δυο ρίζες c_1,c_2

με

Πράγματι σε αντίθετη περίπτωση, αν $f(2c_1+1)\ne 0$ τότε:
αν το c_1

είναι απλή ρίζα για $\alpha= c_1$ το όριο της εκφώνησης δε θα υπάρχει,
αν το c_1

είναι διπλή ρίζα τότε το c_2

είναι απλή ρίζα
και $f(2c_2+1)\ne 0$ γιατί 2c_2+1 > c_2

οπότε για $\alpha= c_2$ το όριο της εκφώνησης δε θα υπάρχει, άτοπο.

Συνεπώς όλες οι ρίζες θα είναι μεγαλύτερες ή ίσες του

ή μικρότερες ή ίσες του

Αν το δεν είναι ρίζα, τότε έστω c_o

η ρίζα με τη μεγαλύτερη απόσταση από το

Η ρίζα αυτή δεν μπορεί να είναι ούτε απλή ούτε τριπλή γιατί τότε για $\alpha= c_o$ το όριο της εκφώνησης δεν θα υπάρχει,
οπότε έστω ότι είναι διπλή και συνεπώς θα υπάρχει και τρίτη (απλή) ρίζα c_1

εγγύτερα στο

αν

με λίγες πράξεις τα a,b,c_1

μπορούν να υπολογιστούν και διαπιστώνουμε ότι η

δεν έχει ακέραιους συντελεστάς οπότε $2c_1+1\ne c_o$ και συνεπώς $f(2c_1+1)\ne0$ οπότε για $\alpha= c_1$ το όριο της εκφώνησης δεν θα υπάρχει και καταλήγουμε σε άτοπο.

Συνεπώς f(-1)=0

δηλαδή

Λαμβάνοντας την τελευταία σχέση υπ' όψιν η συνάρτηση $\dfrac{f(2x+1)}{f(x)}}-8$ κοντά σε κάθε πραγματικό αριθμό $\alpha$ γράφεται
$\dfrac{ 4(6-b)x + 2b - 30 }{ x^2 + (b-4)x + 4 }$

οπότε η συνθήκη ύπαρξης του ορίου της εκφώνησης γράφεται

"για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} \dfrac{4(6-b)x+2b-30}{x^2+(b-4)x+4}$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός ή $\pm\infty$ "

Επειδή ο αριθμητής είναι μη μηδενικό πολυώνυμο και το πολύ πρωτοβάθμιο, οπότε έχει το πολύ μια απλή ρίζα, είναι αναγκαίο ο δευτεροβάθμιος παρανομαστής να έχει μη θετική διακρίνουσα. Στην περίπτωση που η διακρίνουσα είναι μηδέν έχουμε b=0

ή

, το όριο της εκφώνησης υπάρχει (πεπερασμένο ή άπειρο) για κάθε $\alpha$ , και αντίστοιχα f(1)=a+b+5=2

ή

Στην περίπτωση που η διακρίνουσα είναι αρνητική, λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι ο

είναι ακέραιος βρίσκουμε $|b-4|\le 3 \Leftrightarrow 1\le b \le 7$
Αφού f(1)=a+b+5=2b+2

βρίσκουμε ότι $f(1)\le 16$

Σε κάθε περίπτωση έχουμε ότι $\max \{f(1)\}\le 18$

Ικανό
Για b=8

και

έχουμε

και μπορεί κανείς να δει ότι το όριο της εκφώνησης υπάρχει για κάθε $\alpha$ και συγκεκριμένα είναι πεπερασμένο για $\alpha\ne -2$ και $+\infty$ για $\alpha=2$ $\blacksquare$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Αν κανείς ερμηνεύσει την εκφώνηση ως

"το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} \dfrac{f(2x+1)}{f(x)}}$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός"

καταλήγει κανείς σε διαφορετικό αποτέλεσμα, ότι $\max \{f(1)\}=16$ , ενώ το παραπάνω επιχείρημα σε αυτή την ερμηνεία μπορεί να συντομεύσει δραστικά.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Φαίνεται πώς η πηγή έμπνευσης της άσκησης είναι η μονοτονία της ακολουθίας $a_{n+1}=2a_n+1$ η οποία στις περιπτώσεις a_0 > -1

,

είναι αντίστοιχα γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, σταθερή.

Al.Koutsouridis · #3

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: Κυρ Νοέμ 17, 2024 9:48 pm Θα λύσουμε την άσκηση ερμηνεύοντας το

"υπάρχει η τιμή του ορίου $\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} \dfrac{f(2x+1)}{f(x)} }$ "

ως

"το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to \alpha} \dfrac{f(2x+1)}{f(x)}}$ υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός ή $\pm\infty$ "

Αναγκαίο

Έχεις δίκιο η σωστή ερμηνεία είναι η παραπάνω. Να σημειώσω επίσης ότι η αρχική άσκηση στις εισαγωγικές εξετάσεις της Κορέας είναι για όριο, που υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Θεώρησα ότι καλό είναι να το δούμε στην γενικότητά του, όπως και αντιμετωπίστηκε.

Όριο ρητής και μέγιστο

Όριο ρητής και μέγιστο

Re: Όριο ρητής και μέγιστο

Re: Όριο ρητής και μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση