Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2000

#1

: 2000.PNG (106.43 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Orestisss · #2

socrates έγραψε: Σάβ Δεκ 14, 2024 7:51 pm2000.PNG

1a)
Αρκεί να δειχθεί οτι $(3\nu + 5, 2\nu +3)=1$ . Πράγματι, από τον ευκλείδειο αλγόριθμο προκύπτει:
$(3\nu + 5, 2\nu +3)=(2\nu +3, \nu +2)=(\nu +2, \nu +1) =(\nu +1, 1)=1, \forall \nu \in \mathbb{N}$

Orestisss · #3

socrates έγραψε: Σάβ Δεκ 14, 2024 7:51 pm2000.PNG

3) Η εξίσωση απαιτείται να έχει διακρίνουσα τέλειου τετραγώνου.
Έστω $4a^2 -8a +8=k^2, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow (2a-2)^2 +4=k^2 \Leftrightarrow (k-2a+2)(k+2a-2)=4$ . Παίρνουμε το σύστημα: k-2a+2 = 1,4,-1,-4,2,-2

και

, το οποίοι μας δίνει μοναδική λύση ως προς

, την

. Με αντικατάσταση βλέπουμε ότι x_1=0, x_2=-1

.

#4

Orestisss έγραψε: Σάβ Δεκ 14, 2024 10:31 pm
1a)
Αρκεί να δειχθεί οτι $(3\nu + 5, 2\nu +3)=1$ . Πράγματι, από τον ευκλείδειο αλγόριθμο προκύπτει:
$(3\nu + 5, 2\nu +3)=(2\nu +3, \nu +2)=(\nu +2, \nu +1) =(\nu +1, 1)=1, \forall \nu \in \mathbb{N}$

Συνεχίζω με την 1β) για να μην μένει αναπάντητη.

Είναι $\dfrac {\overline {xy}+12}{\overline {xy}-3}= 1+ \dfrac {15}{\overline {xy}-3}$ . Για να είναι φυσικός ισοδυναμεί με το $\overline {xy}-3$ ίσον διαιρέτης του

, δηλαδή ένας από τους

$\pm 1, \pm3, \pm 5, \pm 15$ . Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η μόνη αποδεκτή λύση είναι η $\overline {xy} =18$ , οπότε x+y=1+8=9

.

To ανίστροφο δεν ισχύει. Π.χ. για x=2, y=7

το κλάσμα ισούται με $\dfrac {27+12 }{27-3 } \notin \mathbb N$

KARKAR · #5

Πρόβλημα 2

: 2000 2ο πρόβλημα.png (17.07 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές

Το δεύτερο δεν φαίνεται να ισχύει ( βλέπε παράδειγμα ) . Ίσως να υπάρχει τυπογραφικό στην εκφώνηση

: 'οχι.png (14.69 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2000

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2000

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2000

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2000

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2000

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2000

Μέλη σε σύνδεση