Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

#1

Να ερμηνευθεί γεωμετρικά η ανισότητα:

$\displaystyle{a^3+2b^{\frac{3}{2}} \geq 3ab,\ \ 0<a<b}$

Αφορμή:viewtopic.php?f=69&t=77198

abgd · #2

KDORTSI έγραψε: Τρί Φεβ 25, 2025 5:16 pm Να ερμηνευθεί γεωμετρικά η ανισότητα:

$\displaystyle{a^3+2b^{\frac{3}{2}} \geq 3ab,\ \ 0<a<b}$

Αφορμή:viewtopic.php?f=69&t=77198

Κώστα καλησπέρα.

Θα μου επιτρέψεις να δώσω μια αναλυτική περιγραφή της γεωμετρικής ερμηνείας της ανισότητας , κάτι που "χρωστάω" στους μαθητές από το θέμα που ανέφερες.

$\displaystyle{a^3+2b^{\frac{3}{2}} \geq 3ab,\ \ 0<a< b \ \ \Leftrightarrow \dfrac{a^3}{3}+\dfrac{b^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\geq ab \Leftrightarrow \int_0^a{x^2}dx+\int_0^b{\sqrt{x}}dx \geq ab \Leftrightarrow }$

$\boxed{ E(\Omega_1)+E(\Omega_2)\geq (OACB')}$

Το χωρίο $\Omega_1$ είναι το χωρίο που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x^2

, τον άξονα x'x

και την ευθεία x=a

.
Το χωρίο $\Omega_2$ είναι το χωρίο που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ , τον άξονα x'x

και την ευθεία x=b

,

Το χωρίο $\Omega_2$ , λόγω της συμμετρίας, ως προς την ευθεία y=x

των γραφικών παραστάσεων των $f, f^{-1}$ , είναι συμμετρικό,

(και συνεπώς ισοδύναμο )

με το χωρίο που περικλείεται από την γραφική παράσταση της

την ευθεία y=b

, τον άξονα y'y

και την ευθεία $x=\sqrt{b}$

Έτσι το, πρώτο μέλος της ανισότητας θα είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου,

, συν το εμβαδόν του χωρίου A_fCB_f

Με την υπόθεση ότι $a\leq \sqrt{b}$ ,

το εμβαδόν του τελευταίου χωρίου είναι ίσο με

$\displaystyle{\boxed{\int_a^{\sqrt{b}} {(b-x^2)}dx=\dfrac{a^3}{3}+\dfrac{b^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}- ab}}$ .

Η ισότητα συνεπώς στην ανισότητα θα ισχύει όταν

$\displaystyle{\dfrac{a^3}{3}+\dfrac{b^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}- ab =\frac{1}{3}(\sqrt{b}-a)^2(\sqrt{b}+a)=0 \Leftrightarrow \boxed{a=\sqrt{b}}}$

Σημείωση: Το ότι για την ισότητα θα πρέπει $a=\sqrt{b}$ προκύπτει πιο εύκολα από το εξής:

Η ισότητα θα ισχύει όταν $\displaystyle{ \int_a^{\sqrt{b}} {(b-x^2)}dx=0 \Leftrightarrow a=\sqrt{b}$ , διαφορετικά θα είναι $\displaystyle{ \int_a^{\sqrt{b}} {(b-x^2)}dx=E(\Omega)>0$ ,

με $\Omega$ το χωρίο A_fCB_f

: geometriki anisosi.png (73.97 KiB) Προβλήθηκε 2454 φορές

Με την υπόθεση ότι $a>\sqrt{b}$ με όμοιο τρόπο....

: geometriki anisosi 2.png (46.98 KiB) Προβλήθηκε 2454 φορές

#3

KDORTSI έγραψε: Τρί Φεβ 25, 2025 5:16 pm Να ερμηνευθεί γεωμετρικά η ανισότητα:

$\displaystyle{a^3+2b^{\frac{3}{2}} \geq 3ab,\ \ 0<a<b}$

Αφορμή:viewtopic.php?f=69&t=77198

Κώστα καλησπέρα...

Σωστή και λεπτομερής είναι η απόδειξή σου.
Έκανα την πρόταση αυτή, όπως γράφω και στην εκφώνηση με αφορμή τη δικιά σου
πρόταση και να σχολιάσω λίγο ακόμα, αυτό που λέμε γεωμετρική ερμηνεία. Ίσως βέβαια
το θέμα να ταίριαζε σε αλλο φακελλο, όπως θα διαπιστώσει ένας τρίτος επισκέπτης.

1ο Σχόλιο:

Ζητούμε να γνωρίσουμε τι σημαίνει γεωμετρκά η σχέση:

$\displaystyle{a^3+2b^{\frac{3}{2}} \geq 3ab,\ \ 0<a<b}\ \ (1)$

Θέτουμε: $\displaystyle{a=x, \ \ \sqrt{b}=y \ \ (2) }$

Τότε η (1) γίνεται:

$\displaystyle{x^3+2y^3 \geq 3xy^2 }$

ή ακόμα:

$\displaystyle{x^3+y^3+y^3 \geq 3xyy \ \ (3) }$

Η τελευταία είναι γνωστή ταυτοανίσωση η οποία γεωμετρικά ερμηνεύεται ως εξής:

Το άθροισμα των όγκων των τριών κύβων με ακμές $\displaystyle{x,y, y}$ είναι μεγαλύτερο ή ίσο

από το τριπλάσιο του όγκου ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων x,y,y$

Θα ακολουθήσουν στη συνέχεια δυο ακόμη σχόλια...

Κώστας Δόρτσιος

#4

KDORTSI έγραψε: Τρί Φεβ 25, 2025 5:16 pm Να ερμηνευθεί γεωμετρικά η ανισότητα:

$\displaystyle{a^3+2b^{\frac{3}{2}} \geq 3ab,\ \ 0<a<b}$

Αφορμή:viewtopic.php?f=69&t=77198

(Συνέχεια...)

Σχόλιο 2ο

Επειδή και τα οοκληρώματα μας δίνουν εμβαδά, άρα αναζητούμε γεωμετρική

ερμηνεία και με τη βοήθεα αυτών. Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Γεωμ. Ερμηνεία 1.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 2338 φορές

Από το σχήμα αυτό είναι:

$\displaystyle{(T_1)=\int_{0}^{a}x^2dx=\frac{a^3}{3} \ \ (1) }$

$\displaystyle{(T_2)=\int_{0}^{b}xdy=\int_{0}^{b}\sqrt{y}dy=\frac{2}{3}b^{\frac{3}{2}} \ \ (2) }$

Προφανώς όμως είναι:

$\displaystyle{(T_1)+(T_2) \geq ab \ \ (3) }$

επειδή είναι δεδομένο ότι $\displaystyle{0 < a <b }$ και το ορθογώνιο με διαστάσεις $\displaystyle{a,b}$

όπως φαίνεται και στο σχήμα υπολείπεται του αθροίσματος $\displaystyle{(T_1)+(T_2) }$ .

Έτσι από την (3) προκύπτει η ζητούμενη, δηλαδή:

$\displaystyle{\frac{a^3}{3}+\frac{2}{3}b^{\frac{3}{2}} \geq ab }$

και απαλείφοντες τους παρονομαστές παίρνουμε την αρχικά ζητούμενη.

Παρατήρηση:

Ο τρόπος αυτός είναι ο ίδιος με εκείνον που παρουσίασε ανωτέρω ο συνάδερφος Κώστας

γιατί ουσιαστικά πάλι λειτουργεί η αντίστροφη σχέση του τύπου της συνάρτησης στο δεύτερο

ολοκλήρωμα, στο οποίο η ολοκληρωση γίνεται κατά τον άξονα των τεταγμένων. Πιστεύω όμως

ότι είναι πιο απλή μέθοδος, ή εν πάση περιτπώσει είναι μια άλλη σκέψη...

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

#5

KDORTSI έγραψε: Τρί Φεβ 25, 2025 5:16 pm Να ερμηνευθεί γεωμετρικά η ανισότητα:

$\displaystyle{a^3+2b^{\frac{3}{2}} \geq 3ab,\ \ 0<a<b}$

Αφορμή:viewtopic.php?f=69&t=77198

Συνέχεια...

Καλησπέρα και Χρόνια Πολλά για τη σημερινή μέρα....( Αποκριές...)

Πριν γράψω και το τρίτο σχόλιο για την άσκηση αυτή θα σταθώ λίγο ακόμα

να δείξω κάπως καλύτερα αυτό που ισχυρίστηκα στην προηγούμενη μου ανάρτηση.

Δηλαδή ότι ο τρόπος που παρουσίασα υπαινίσσεται την αντίστροφη συνάρτηση.

Σκεφτόμαστε το σχήμα:

: Γεωμ. ερμηνεία 2.png (22.7 KiB) Προβλήθηκε 2291 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε τα χωρία που έχουν εμβαδό ίσο με τα ορισμένα ολοκληρώματα

της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και $\displaystyle{f^{-1}}$ (Χρώματα κίτρινο και θαλασσί), όπως ακριβώς

έπραξε και ο συνάδερφος Κώστας στη λύση του.

Σκεφτόμαστε τώρα το επόμενο σχήμα:

: Γεωμ. ερμηνεία 3.png (33.12 KiB) Προβλήθηκε 2291 φορές

Το σχήμα αυτό είναι τρισδιάστατο γιατί γίνεται στροφή στο χώρο και

θα φανεί ότι το θαλασσί χωρίο μετά τη στροφή γύρω από τη διχοτόμο της

πρώτης γωνίας θα συμπέσει με το χωρίο $\displaystyle{(T_2)}$ του δεύτερου σχολίου μου.

Αυτό μπορείτε να το δείτε στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/wxyw8kmr

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

abgd · #6

KDORTSI έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 11:09 pm
Αυτό μπορείτε να το δείτε στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/wxyw8kmr

Κώστας Δόρτσιος

Κώστα καλημέρα και Χρόνια Πολλά.

Πολύ ωραία η περιστροφή του γαλάζιου χωρίου που έκανες.

Θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, με την κατάλληλη προσαρμογή, για την γεωμετρική απεικόνιση του παρακάτω τύπου...

Έστω η συνεχής, γνησίως αύξουσα και θετική στο $[0,+\infty)$ συνάρτηση , με .

Για κάθε ισχύει ο τύπος:

$\displaystyle{\boxed{\int_0^{f(a)}{f^{-1}(x)}dx +\int_0^a{f(x)}dx=af(a)}}$

Γεωμετρικά:

Έστω $\Omega_1$ το χωρίο που περικλείεται από τις γραμμές $C_{f^{-1}}, x'x, x=f(a)$

και $\Omega_2$ το χωρίο που περικλείεται από τις γραμμές .

Το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων $\Omega_1, \Omega_2$ είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις

#7

abgd έγραψε: Δευ Μαρ 03, 2025 11:56 am
KDORTSI έγραψε: Κυρ Μαρ 02, 2025 11:09 pm
Αυτό μπορείτε να το δείτε στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/wxyw8kmr

Κώστας Δόρτσιος

Κώστα καλημέρα και Χρόνια Πολλά.

Πολύ ωραία η περιστροφή του γαλάζιου χωρίου που έκανες.

Θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί, με την κατάλληλη προσαρμογή, για την γεωμετρική απεικόνιση του παρακάτω τύπου...

Έστω η συνεχής, γνησίως αύξουσα και θετική στο $[0,+\infty)$ συνάρτηση , με .

Για κάθε ισχύει ο τύπος:

$\displaystyle{\boxed{\int_0^{f(a)}{f^{-1}(x)}dx +\int_0^a{f(x)}dx=af(a)}}$

Γεωμετρικά:

Έστω $\Omega_1$ το χωρίο που περικλείεται από τις γραμμές $C_{f^{-1}}, x'x, x=f(a)$

και $\Omega_2$ το χωρίο που περικλείεται από τις γραμμές .

Το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων $\Omega_1, \Omega_2$ είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις

Καλημέρα....

Έχεις δίκιο και επειδή όταν δουλεύω τέτοια σχήματα λειτουργώ με δρομείς κατάλληλους

ώστε να έχω πλήρη εικόνα του αποτελέσματος, παρουσιάζω το σχήμα που αφορά τη

σχέση που έγραψες στο ακόλουθο σχήμα:

: Γεωμ. ερμηνεία 5.png (34.78 KiB) Προβλήθηκε 2131 φορές

Παρουσιάζω στον παρακάτω σύνδεσμο και το δυναμικό σχήμα:

https://www.geogebra.org/m/ydyrcp5e

Κώστας Δόρτσιος

#8

KDORTSI έγραψε: Τρί Φεβ 25, 2025 5:16 pm Να ερμηνευθεί γεωμετρικά η ανισότητα:

$\displaystyle{a^3+2b^{\frac{3}{2}} \geq 3ab,\ \ 0<a<b}$

Αφορμή:viewtopic.php?f=69&t=77198

(Τελευταία συνέχεια...)

Καλημέρα.

Συνεχίζω με το τρίτο σχόλιο...

Σχόλιο 3ο

Εργαζόμαστε στο σχήμα:

: Γεωμ. Ερμηνεία 1.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 2061 φορές

Υπολογίζουμε τα εμβαδά των δύο χωρίων με διπλό ολοκλήρωμα.

Έτσι είναι:

$\displaystyle{(T_1)=\iint\limits_{(T_1)}\,dx\,dy=\int_{0}^{a}(\int_{0}^{x^2}dy)dx=\int_{0}^{a} x^2dx=\frac{a^3}{3} \ \ (1) }$

$\displaystyle{(T_2)=\iint\limits_{(T_2)} \,dx \,dy=\int_{0}^{\sqrt{b}}(\int_{x^2}^{b}dy)dx=\int_{0}^{\sqrt{b}}(b-x^2)dx=b\sqrt{b}-\frac{(\sqrt{b})^3}{3}=\frac{2b^{\frac{3}{2}}}{3} \ \ (2) }$

Έτσι από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{(T_1)+(T_2)=\frac{a^3}{3}+\frac{2b^{\frac{3}{2}}}{3} }$

και φυσικά προφανώς είναι:

$\displaystyle{(T_1)+(T_2)=\frac{a^3}{3}+\frac{2b^{\frac{3}{2}}}{3} \geq ab }$

δηλαδή η ζητούμενη αρχική μας ανίσωση.

Κώστας Δόρτσιος

Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Re: Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Re: Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Re: Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Re: Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Re: Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Re: Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Re: Με αφορμή τη γεωμετρική ερμηνεία ανίσωσης....

Μέλη σε σύνδεση