Πολυωνυμική Εξίσωση.

#1

Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle{17x^4 +36x^3 -14x^2 -4x+1=0,}$

αν είναι γνωστό ότι αυτή έχει 4 πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.

papel · #2

H αρμονικη προοδος δεν υπαρχει στα σχολικα εγχειριδια ουτε στην υλη του ΑΣΕΠ. Δεν βλεπω πως μπορει να μπει ενα τετοιο θεμα. Βεβαια οι παρατηρησεις αυτες ειναι δουλεια του επιμελητη της στηλης ωστε να αποφευγονται συγχισεις στους συναδελφους στους οποιους απευθυνεται η στηλη.

#3

Η αλήθεια είναι ότι δεν είμαι σίγουρος ποια ακριβώς είναι η ύλη του ΑΣΕΠ. Ωστόσο, η έννοια της αρμονικής προόδου αναφέρεται σε άσκηση του σχολικού βιβλίου.

Υ.Γ. Η προσωπική μου άποψη είναι ότι δεν είναι καθόλου ''τραβηγμένο'' (το να ζητηθεί κάτι σε σχέση με την αρμονική). Εδώ ζήτησαν γενικευμένο ολοκλήρωμα.

Dreamkiller · #4

Υποθέτουμε ότι παραγοντοποιείται ως (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)

. Κάνοντας τις πράξεις και εξισώνοντας τους συντελεστές προκύπτει ένα σύστημα και για ευκολία ψάχνουμε τις λύσεις στους ακεραίους. Παίρνοντας πρώτα την περίπτωση c=1

,

δεν βρίσκουμε λύση οπότε με την περίπτωση c=-1

,

το πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως: (17x^2+2x-1)(x^2+2x-1)

Δεν χρησιμοποιώ την αρμονική, αλλά με λίγο wishful thinking λύνονται τα πάντα

#5

#6

Dreamkiller έγραψε:Υποθέτουμε ότι παραγοντοποιείται ως . Κάνοντας τις πράξεις και εξισώνοντας τους συντελεστές προκύπτει ένα σύστημα και για ευκολία ψάχνουμε τις λύσεις στους ακεραίους. Παίρνοντας πρώτα την περίπτωση , δεν βρίσκουμε λύση οπότε με την περίπτωση , το πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως:

Δεν χρησιμοποιώ την αρμονική, αλλά με λίγο wishful thinking λύνονται τα πάντα

Αν έβαζες:
(17x^2+bx+c)(x^2+ex+f)

.
με λίγη τύχη, ίσως να ήταν καλύτερα...

#7

Έστω ότι οι ρίζες είναι οι αριθμοί x_1,x_2,x_3,x_4

. Aφού είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής πρόοδου άρα οι αντίστροφοί τους (με τη σειρά που τους γράφω) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι:

$\displaystyle\frac{1}{x_1}=x-3y$
$\displaystyle\frac{1}{x_2}=x-y$
$\displaystyle\frac{1}{x_3}=x+y$
$\displaystyle\frac{1}{x_4}=x+3y$

Από τους τύπους Vieta παίρνουμε:

$x_1+x_2+x_3+x_4=-\displaystyle\frac{36}{17} \ \ (1)$

$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=-\displaystyle\frac{14}{17} \ \ (2)$

$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_1x_3x_4=\displaystyle\frac{4}{17} \ \ (3)$

$x_1x_2x_3x_4=\displaystyle\frac{1}{17} \ \ (4)$

Διαιρώτας τις (3)

και

κατά μέλη παίρνουμε:

$\displaystyle\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=4$ δηλαδή 4x=4

οπότε

.

Λόγω της (4)

παίρνουμε: $\displaystyle\frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{x_2}\cdot\frac{1}{x_3}\cdot\frac{1}{x_4}=17$ άρα

(1-3y)(1-y)(1+y)(1+3y)=17

δηλαδή

και λύνοντας τη διτετράγωνη που προκύπτει κρατάμε τις πραγματικές λύσεις $y=-\sqrt{2}, \sqrt{2}$

Αν $y=\sqrt{2}$ τότε οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι

$x_1=\displaystyle\frac{1}{1-3\sqrt{2}}$
$x_2=\displaystyle\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
$x_3=\displaystyle\frac{1}{1+\sqrt{2}}$
$x_4=\displaystyle\frac{1}{1+3\sqrt{2}}$

που είναι μία αύξουσα αρμονική πρόοδος και

Αν $y=-\sqrt{2}$ τότε οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι ίδιοι με τους παραπάνω με αντίστροφη σειρά (δηλαδή οι ρίζες αποτελούν μία φθίνουσα αρμονική πρόοδο).

Στο τέλος, απλά επαληθεύουμε ότι ισχύουν οι σχέσεις (1),(2),(3)

.

Αλέξανδρος

#8

Θα ήθελα να απαντήσω άμεσα, αλλά με πήρε ο ύπνος.

Νομίζω πως η αρμονική πρόοδος εντάσσεται στην ύλη του διαγωνισμού.

Μιλάμε για αρμονική πρόοδο φυσικά και οχι για το θεώρημα Stokes ή τις

διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους.

Δηλαδή το θέμα γραμμικής που έπεσε στον προηγούμενο ήταν εντός ύλης;

Κι αν βιαστείς να μου πεις ''ναι'' γιατί ήταν τα συστήματα εντός, τότε και για την

αρμονική πρόοδο ισχύει το ίδιο, αφού είναι εντός η αριθμητική.

Πάντα ίδιος και απαράλλαχτος, απο το παλιό φόρουμ μέχρι και σήμερα.

Τελικά μπορεί τα nick-names να αλλάζουν μα το ύφος παραμένει (του θανατά) το ίδιο.

Απο εδώ και στο εξής περιμένω παρεμβάσεις ουσίας και όχι κλεφτοπόλεμου κακής ποιότητας.
(μέσα απο τις γρίλιες)

Ει δυνατόν ΕΠΩΝΥΜΕΣ.
(με το πραγματικό όνομα για να έχουν ουσία)

Η σύγχυση δεν είναι ο σκοπός μου, αποδίδεται μάλλον σε άλλους που δε σκέπτονται πριν γράψουν

ή σκέπτονται μόνο με την έννοια της καταστροφής.

papel · #9

chris_gatos έγραψε:Θα ήθελα να απαντήσω άμεσα, αλλά με πήρε ο ύπνος.

Νομίζω πως η αρμονική πρόοδος εντάσσεται στην ύλη του διαγωνισμού.

Μιλάμε για αρμονική πρόοδο φυσικά και οχι για το θεώρημα Stokes ή τις

διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους.

Δηλαδή το θέμα γραμμικής που έπεσε στον προηγούμενο ήταν εντός ύλης;

Κι αν βιαστείς να μου πεις ''ναι'' γιατί ήταν τα συστήματα εντός, τότε και για την

αρμονική πρόοδο ισχύει το ίδιο, αφού είναι εντός η αριθμητική.

Πάντα ίδιος και απαράλλαχτος, απο το παλιό φόρουμ μέχρι και σήμερα.

Τελικά μπορεί τα nick-names να αλλάζουν μα το ύφος παραμένει (του θανατά) το ίδιο.

Απο εδώ και στο εξής περιμένω παρεμβάσεις ουσίας και όχι κλεφτοπόλεμου κακής ποιότητας.
(μέσα απο τις γρίλιες)

Ει δυνατόν ΕΠΩΝΥΜΕΣ.
(με το πραγματικό όνομα για να έχουν ουσία)

Η σύγχυση δεν είναι ο σκοπός μου, αποδίδεται μάλλον σε άλλους που δε σκέπτονται πριν γράψουν

ή σκέπτονται μόνο με την έννοια της καταστροφής.

Χρηστο η αρμονικη προοδος δεν ειναι μεσα στην υλη για ΑΣΕΠ και αυτο επισημανα.

Φιλικα ενας συναδελφος.

dr.tasos · #10

Dreamkiller έγραψε:Υποθέτουμε ότι παραγοντοποιείται ως . Κάνοντας τις πράξεις και εξισώνοντας τους συντελεστές προκύπτει ένα σύστημα και για ευκολία ψάχνουμε τις λύσεις στους ακεραίους. Παίρνοντας πρώτα την περίπτωση , δεν βρίσκουμε λύση οπότε με την περίπτωση , το πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως:

Δεν χρησιμοποιώ την αρμονική, αλλά με λίγο wishful thinking λύνονται τα πάντα

Εδω αμα πάμε με αυτή την μέθοδο και τα $\displaystyle{ c \quad and f }$ δεν είναι ακέραιοι τι κάνουμε ; γιατί βλέπω να προκύπτουν 5 εξισώσεις για 6 μεταβλητές αρα δεν μπορουμε να λυσουμε το συστημα .

Πολυωνυμική Εξίσωση.

Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση.

Μέλη σε σύνδεση