Δεύτερος κύκλος

KARKAR · #1

: Δεύτερος κύκλος.png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Στο σκέλος

του ισοσκελούς τριγώνου ABC

, βρίσκεται σημείο

και έχουμε γράψει τον κύκλο

(O,OB)

. Εντοπίστε σημείο

του σκέλους

, τέτοιο ώστε ο κύκλος (K,KC)

να εφάπτεται

του (O)

. Αν δυσκολεύεστε , κάντε το για τρίγωνο με : AB=AC=13 , BC=10 , OB=4

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Σεπ 05, 2025 8:13 am Δεύτερος κύκλος.pngΣτο σκέλος του ισοσκελούς τριγώνου , βρίσκεται σημείο και έχουμε γράψει τον κύκλο

. Εντοπίστε σημείο του σκέλους , τέτοιο ώστε ο κύκλος να εφάπτεται

του . Αν δυσκολεύεστε , κάντε το για τρίγωνο με : .

Από τον Νόμο των συνημιτόνων στο AOK

έχουμε $(r+x)^2=OK^2=(a-r)^2+(a-x)^2-2(a-r)(a-x)\cos A$ . Λύνοντας (ανάγεται σε πρωτοβάθμια) θα βρούμε

$\boxed {x= \dfrac {a(a-r)(1-\cos A)}{a+r-(a-r) \cos A}}$

Στο αριθμητικό παράδειγμα είναι $a=13, r=4, \cos A= \dfrac {119}{169}$ . Από εκεί κει πάρα είναι απλές πράξεις που αν τις έκανα σωστά δίνουν $x= \dfrac {2925}{901}\approx 3,24$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Σεπ 05, 2025 8:13 am Δεύτερος κύκλος.pngΣτο σκέλος του ισοσκελούς τριγώνου , βρίσκεται σημείο και έχουμε γράψει τον κύκλο

. Εντοπίστε σημείο του σκέλους , τέτοιο ώστε ο κύκλος να εφάπτεται

του . Αν δυσκολεύεστε , κάντε το για τρίγωνο με : .

: Δεύτερος κύκλος_Κατασκευή ok.png (32.46 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Ας πούμε

τη τομή του $\left( {O,r} \right)$ με τη

. Είναι

. Αν

θα ισχύει , $\dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{OD}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{d}{a} = \dfrac{r}{b} \Rightarrow \boxed{d = \dfrac{{ar}}{b}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Ας είναι

το σημείο επαφής των δύο κύκλων .

Το τετράπλευρο ODCK

είναι τραπέζιο με βάσεις τα $OD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KC$ θα έχω , $2\left( {\widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {\omega _{}^{}}} \right) = 180^\circ \Rightarrow$ $\boxed{\widehat {DTC} = 90^\circ }$

Γράφω μέσα στο τρίγωνο , $\vartriangle ABC$ , το ημικύκλιο διαμέτρου

.

Το ημικύκλιο αυτό τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$ ακόμα στο

. Η

τέμνει την

στο

που θέλω.

Παρατήρηση

Για τον υπολογισμό του

. Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle AOK$ έχω την εξίσωση :

${\left( {r + x} \right)^2} = {\left( {b - r} \right)^2} + {\left( {b - x} \right)^2} - 2\left( {b - r} \right)\left( {b - x} \right)\left( {1 - \dfrac{{{a^2}}}{{2{b^2}}}} \right)$ με λύση : $\boxed{x = \frac{{{a^2}b\left( {b - r} \right)}}{{{a^2}\left( {b - r} \right) + 4{b^2}r}}}$ .

Παράδειγμα , $a = 8\,\,,b = 10\,\,,r = 4$ και δίδει , $\boxed{x = \dfrac{{60}}{{31}}}$

Δεύτερος κύκλος

Δεύτερος κύκλος

Re: Δεύτερος κύκλος

Re: Δεύτερος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση