ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

#1

Έστω τετράγωνο ABCD

και σημεία E, Z

των πλευρών AB, AD

αντίστοιχα με AE=DZ

. Αν η κάθετη από το

προς την

τέμνει την διαγώνιο

στο

, να αποδείξετε ότι EZ=CH

.

#2

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 12:25 am Έστω τετράγωνο και σημεία των πλευρών αντίστοιχα με . Αν η κάθετη από το προς την τέμνει την διαγώνιο στο , να αποδείξετε ότι .

.

: ισότητα σε τετρ.png (27.98 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

.
Εργαζόμαστε ανάποδα: Από τα E,Z

, όπου

, φέρνουμε κάθετες στις πλευρές του τετραγώνου. Έστω ότι οι κάθετες αυτές τέμνονται στο σημείο

, το οποίο βέβαια είναι επί της διαγωνίου, λόγω της (*)

. Εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα $AEZ,\, CGH$ είναι ίσα. Έπεται ότι EZ=CH

, αλλά πρέπει τώρα να δείξουμε ότι $CK\perp ZE$ .

Από την ισότητα των τριγώνων που δείξαμε, έπεται επίσης ότι $\widehat {AZE} = \theta = \widehat {HCG}$ . Aν λοιπόν η

τέμνει την

στο

, η προηγούμεη ισότητα γωνιών μας δίνει $CK\perp ZE$ αφού είναι $AZ \perp DC$ . Τελειώσαμε.

Σημειώνω ότι η άσκηση βγαίνει εύκολα και με Αναλυτική Γεωμετρία.

STOPJOHN · #3

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 12:25 am Έστω τετράγωνο και σημεία των πλευρών αντίστοιχα με . Αν η κάθετη από το προς την τέμνει την διαγώνιο στο , να αποδείξετε ότι .

Eστω $HM\perp BC,AE=ZD=x,MB=y,MC=a-y,AZ=a-x$ Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $ANLE,\hat{LNZ}=\hat{AEL}$

και απο παράλληλες ευθείες $AD//BC,\hat{ZNL}=\hat{HCM}$

οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα ZAE,HMC

είναι όμοια αρα $\dfrac{x}{a-y}=\dfrac{a-x}{y}\Leftrightarrow a-y=x$

οπότε είναι ίσα και EZ=CH

#4

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 12:25 am Έστω τετράγωνο και σημεία των πλευρών αντίστοιχα με . Αν η κάθετη από το προς την τέμνει την διαγώνιο στο , να αποδείξετε ότι .

Ανάποδα, αλλά με διαφορετικό τρόπο.

Οι παράλληλες από τα E, Z

στις

τέμνονται στο σημείο

της

Θα δείξω ότι $CH\bot EZ.$

: Ισότητα σε τετράγωνο.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

Προφανώς το AEHZ

είναι ορθογώνιο, άρα EZ=AH=HC.

Εξάλλου, $H\widehat CD=H\widehat AZ=A\widehat ZE,$ άρα το DZKC

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 1:29 am
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 12:25 am Έστω τετράγωνο και σημεία των πλευρών αντίστοιχα με . Αν η κάθετη από το προς την τέμνει την διαγώνιο στο , να αποδείξετε ότι .
.
ισότητα σε τετρ.png
.
Εργαζόμαστε ανάποδα: Από τα , όπου , φέρνουμε κάθετες στις πλευρές του τετραγώνου. Έστω ότι οι κάθετες αυτές τέμνονται στο σημείο , το οποίο βέβαια είναι επί της διαγωνίου, λόγω της . Εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα $AEZ,\, CGH$ είναι ίσα. Έπεται ότι , αλλά πρέπει τώρα να δείξουμε ότι $CK\perp ZE$ .

Από την ισότητα των τριγώνων που δείξαμε, έπεται επίσης ότι $\widehat {AZE} = \theta = \widehat {HCG}$ . Aν λοιπόν η τέμνει την στο , η προηγούμεη ισότητα γωνιών μας δίνει $CK\perp ZE$ αφού είναι $AZ \perp DC$ . Τελειώσαμε.

Σημειώνω ότι η άσκηση βγαίνει εύκολα και με Αναλυτική Γεωμετρία.

Αυτή ακριβώς ήταν και η δική μου ιδέα Μιχάλη. Σε ευχαριστούμε πολύ!
Άμεση συνέπεια αυτού είναι το πρόβλημα του Ήρωνα (Vecten) που συζητήθηκε πρόσφατα, καθώς οι

και

τέμνονται επί της

διότι είναι ύψη του τριγώνου CZE

.
Σας ευχαριστώ όλους για τις όμορφες λύσεις σας.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Τρί Σεπ 30, 2025 12:25 am Έστω τετράγωνο και σημεία των πλευρών αντίστοιχα με . Αν η κάθετη από το προς την τέμνει την διαγώνιο στο , να αποδείξετε ότι .

Η

είναι κάθετη στην

άρα

συνεπώς οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες

Άρα $\triangle DZQ= \triangle AEZ$ οπότε ZQ=ZE

και προφανώς QC=//AE

Επομένως

παραλ/μμο ,άρα η

περνά από το κέντρο

του τετραγώνου άρα $ZK \bot QE$

και το DQKZ

θα είναι εγγράψιμμο,άρα $\angle DKZ= \theta$

Επομένως και το HZAK

θα είναι εγγράψιμμο,άρα $HZ \bot AD \Rightarrow HZ//QC \Rightarrow QCHZ$ παραλ/μμο

,άρα CH=QZ=EZ

και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: Ισότητα σε τετράγωνο.png (63.14 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Re: ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Re: ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Re: ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Re: ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Re: ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ

Μέλη σε σύνδεση