Υψίπεδα

KARKAR · #1

: Υψίπεδα.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

Το σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=d

και το

είναι η προβολή του στην

.

Επί της

θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : SP=ST

και ονομάζουμε

την προβολή του

στην

. Υπολογίστε το μέγιστο του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 14, 2025 7:46 am
Υψίπεδα.pngΤο σημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου και το είναι η προβολή του στην .

Επί της θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : και ονομάζουμε την προβολή του

στην . Υπολογίστε το μέγιστο του .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι, $\displaystyle \frac{h}{x} = \frac{{xt}}{{xt + x}} = \frac{t}{{t + 1}} \Leftrightarrow$ $\boxed{h=\frac{xt}{t+1}}$ (1)

: Υψίπεδα.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

Εξάλλου, $\displaystyle A{S^2} = AT \cdot d \Leftrightarrow {x^2}{(t + 1)^2} = \sqrt {{x^2}{{(t + 1)}^2} - {x^2}} d \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{d\sqrt {{t^2} + 2t} }}{{{{(t + 1)}^2}}}}}$ (2)

Από

παίρνω τελικά $\displaystyle h = \frac{{dt\sqrt {{t^2} + 2t} }}{{{{(t + 1)}^3}}},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι έχει μέγιστη τιμή

$\boxed{{h_{\max }} = \frac{{{{\left( {\sqrt {13} - 1} \right)}^4}\sqrt {10 + 2\sqrt {13} } }}{{864}}d}$ όταν $\displaystyle t = \frac{{\sqrt {13} - 1}}{2}.$ Τότε όμως με αντικατάσταση στη (2),

είναι $\boxed{x = \frac{{d{{\left( {\sqrt {13} - 1} \right)}^2}\sqrt {10 + 2\sqrt {13} } }}{{72}}}$

Υψίπεδα

Υψίπεδα

Re: Υψίπεδα

Μέλη σε σύνδεση