Στριφνό μέγιστο

KARKAR · #1

: Στριφνό μέγιστο.png (17.25 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

Σημείο

κινείται στην διάμετρο AB=2r

ενός ημικυκλίου . Υψώνουμε το κάθετο προς την

, τμήμα

.

Η κάθετη από το

προς την χορδή

, τέμνει το τόξο στο σημείο

. Υπολογίστε το μέγιστο του

.

#2

Θέτοντας

όπου $-r\leq s\leq r,$ $T=(s, \sqrt{r^2-s^2}),$ P=(p,q),

$\angle TAS=\theta,$ εύκολα βρίσκουμε $tan\theta =\sqrt{\dfrac{r-s}{r+s}},$ οπότε η εξίσωση της

είναι η $y=-\sqrt{\dfrac{r+s}{r-s}}(x-s)$ και προκύπτει η $|SP|^2=(p-s)^2+q^2=(p-s)^2+\dfrac{r+s}{r-s}(p-s)^2=\dfrac{2r(p-s)^2}{r-s}.$

Αρκεί λοιπόν να μεγιστοποιηθεί η $f(s)=\dfrac{2r(p-s)^2}{r-s}.$ Ισχύει επίσης η p^2+q^2=r^2

και βεβαίως η $p^2+\dfrac{r+s}{r-s}(p-s)^2=r^2.$ Αναδιοργανώνοντας την ως προς

προκύψασα δευτεροβάθμια καταλήγουμε στην

2r(p-s)^2+2s(r-s)(p-s)-(r+s)(r-s)^2=0.

Λόγω της $p-s\leq 0$ καταλήγουμε στην ρίζα $p-s=\dfrac{-(r-s)[s+\sqrt{2r^2+2rs+s^2}]}{2r},$ οπότε αρκεί πλέον να μεγιστοποιηθεί η

$g(s)=\dfrac{(r-s)}{2r}\displaystyle [s+\sqrt{2r^2+2rs+s^2}]^2.$

H g'(s)=0

οδηγεί στην ως προς

τριτοβάθμια

3s^3+3rs^2+8r^2s-4r^3=0,

η οποία έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα, $s\approx 0,410746r,$ οδηγώντας σε μέγιστη $|SP|\approx 1,161564r$ ... σε απόλυτη συμβατότητα με το σχήμα του Θανάση

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 17, 2025 8:41 am Στριφνό μέγιστο.pngΣημείο κινείται στην διάμετρο ενός ημικυκλίου . Υψώνουμε το κάθετο προς την , τμήμα .

Η κάθετη από το προς την χορδή , τέμνει το τόξο στο σημείο . Υπολογίστε το μέγιστο του .

Στα ίδια συμπεράσματα με το Γιώργο (Καλημέρα Γιώργο!) από άλλο δρόμο.

Θέτω OS=x, SP=y,

και είναι $\displaystyle \cos \theta = \cos (A\widehat TS) = \frac{{TS}}{{AT}} = \frac{{\sqrt {(r + x)(r - x)} }}{{\sqrt {2r(r + x)} }} = \sqrt {\frac{{r - x}}{{2r}}}$

: Στριφνό μέγιστο.Κ.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

Νόμος συνημιτόνου στο POS,

$\displaystyle {r^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy\sqrt {\frac{{r - x}}{{2r}}} \Leftrightarrow {y^2} - 2xy\sqrt {\frac{{r - x}}{{2r}}} + {x^2} - {r^2} = 0$

Λύνοντας τη δευτεροβάθμια ως προς

βρίσκω $\boxed{SP = y = \frac{{\sqrt {2r(r - x)} }}{{2r}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2rx + 2{r^2}} } \right)}$

όπου με τη βοήθεια λογισμικού παίρνω $\boxed{SP_{max}\simeq 1,161564r}$ όταν $\boxed{x\simeq 0,410746r}$

Στριφνό μέγιστο

Στριφνό μέγιστο

Re: Στριφνό μέγιστο

Re: Στριφνό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση