Κλαδικό μίγμα

KARKAR · #1

: Κλαδικό μίγμα.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με : $\hat{B}=2\hat{C}$ , δείξτε ότι : $\cos\hat{C}=\dfrac{b}{2c}$ . Άλλος τρόπος ;

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 02, 2026 6:21 pm Κλαδικό μίγμα.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{B}=2\hat{C}$ , δείξτε ότι : $\cos\hat{C}=\dfrac{b}{2c}$ . Άλλος τρόπος ;

Θανάση, υποθέτω ότι ό ένας τρόπος που ζητάς είναι: Από τον Νόμο των ημιτόνων έχουμε

$\dfrac {c}{\sin C} = \dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {b}{\sin 2C}= \dfrac {b}{2\sin C \cos C}$ . Από το πρώτο και το τελευταίο προκύπτει το ζητούμενο.

Ο παραπάνω είναι ο γνωστός τρόπος, γι' αυτό ζητάς άλλον. Θα γράψω άλλον αργότερα, αν εν τω μεταξύ δεν γράψει κάποιος άλλος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 02, 2026 6:21 pm Κλαδικό μίγμα.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{B}=2\hat{C}$ , δείξτε ότι : $\cos\hat{C}=\dfrac{b}{2c}$ . Άλλος τρόπος ;

Έχει αποδειχτεί ποικιλοτρόπως στο

ότι

από την οποία προκύπτουν οι $a+c= \dfrac{b^2}{c}$ και b^2-c^2=ac

Ο ν.συνημιτόνου δίνει $c^2=b^2+a^2-2abcosC \Leftrightarrow b^2-c^2+a^2-2abcosC=0$

$\Leftrightarrow ac+a^2-2abcosC=0 \Leftrightarrow a+c-2bcosC=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{b^2}{c} -2bcosC=0 \Leftrightarrow cosC= \dfrac{b}{2c}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 02, 2026 6:21 pm Κλαδικό μίγμα.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{B}=2\hat{C}$ , δείξτε ότι : $\cos\hat{C}=\dfrac{b}{2c}$ . Άλλος τρόπος ;

Μια πιο γεωμετρική λύση ..

Με

μεσοκάθετη της AC=b

είναι προφανές ότι c=AD=DC

$cosC= \dfrac{MC}{DC} = \dfrac{ \dfrac{b}{2} }{c}= \dfrac{b}{2c}$

: Κλαδικό μίγμα.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 02, 2026 6:21 pm Κλαδικό μίγμα.pngΣτο τρίγωνο , με : $\hat{B}=2\hat{C}$ , δείξτε ότι : $\cos\hat{C}=\dfrac{b}{2c}$ . Άλλος τρόπος ;

Φέρνω τη διχοτόμο

και το ύψος

του ισοσκελούς τριγώνου EBC.

: Κλαδικό μίγμα.png (8.42 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{BM}}{{BE}} = \frac{a}{{2BE}}.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{a}{{BE}} = \frac{b}{c},$ από τα όμοια τρίγωνα ABE, ABC.

Επομένως, $\boxed{\cos \theta=\frac{b}{2c}}$

Κλαδικό μίγμα

Κλαδικό μίγμα

Re: Κλαδικό μίγμα

Re: Κλαδικό μίγμα

Re: Κλαδικό μίγμα

Re: Κλαδικό μίγμα

Μέλη σε σύνδεση