Σύστημα 2 επί 3

KARKAR · #1

Να λυθεί ( στο $\mathbb{R}$ ) το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+z &=6 \\ \\ \sqrt{4x+4}+\sqrt{3y+3}+\sqrt{2z+2}&=9 \\ \end{matrix}\right.$

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 11, 2026 6:01 pm Να λυθεί ( στο $\mathbb{R}$ ) το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+z &=6 \\ \\ \sqrt{4x+4}+\sqrt{3y+3}+\sqrt{2z+2}&=9 \\ \end{matrix}\right.$

.
Θέτουμε $X=x+1, \, Y=y+1, \, Z=z+1$ , οπότε το σύστημα γίνεται α) X+Y+Z=9

, β) $\sqrt{4} \sqrt{X} +\sqrt{3} \sqrt{Y} +\sqrt{2} \sqrt{Z}=9$

Από Cauchy-Schwarz στην δεύτερη έχουμε

$9=\sqrt{4} \sqrt{X} +\sqrt{3} \sqrt{Y} +\sqrt{2} \sqrt{Z}\le \sqrt {4+3+2} \sqrt {X+Y+Z}= \sqrt {9} \sqrt {9}=9$

Άρα έχουμε ισότητα παντού από όπου έπεται $\dfrac {X}{4}= \dfrac {Y}{3}= \dfrac {Z}{2}= \dfrac {X+Y+Z}{4+3+2}= \dfrac {9}{9}=1$ .

Συνεπώς $X=4, \, Y=3, \, Z=2$ , οπότε $\boxed {x=3, \, y=2,\, z=1}$ , που επαληθεύει.

Σύστημα 2 επί 3

Σύστημα 2 επί 3

Re: Σύστημα 2 επί 3

Μέλη σε σύνδεση