Ενδιάμεσος τόπος

KARKAR · #1

: Ενδιάμεσος τόπος.png (20.76 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές

Οι κύκλοι

έχουν διάκεντρο OK=5

. Σημείο

κινείται στον (K)

. Οι

,

τέμνουν τον (O)

στα

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής

του

στην

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2026 7:55 pm Ενδιάμεσος τόπος.pngΟι κύκλοι έχουν διάκεντρο . Σημείο κινείται στον . Οι ,

τέμνουν τον στα . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής του στην .

: Ενδιαμ τοπ.png (48.86 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

.
Λήμμα (γνωστό). Η

είναι κάθετη στην

(δηλαδή η

συμπίπτει με την

.)

Πράγματι, αν η

τέμνει την

στο

τότε

$\widehat {TPS}+\widehat {PSD'}= \widehat {ABS}+\widehat {PSK} = \dfrac {1}{2} \widehat {AKS}+\dfrac {1}{2} (\widehat {KAS} + \widehat {ASK} )= \dfrac {180}{2}=90$ (ως άθροισμα γωνιών τριγώνου), όπως θέλαμε.

Πίσω στην απόδειξη. Το τρίγωνο AOK

είναι ορθογώνιο ως 3-4-5

. Άρα

$\widehat {PAT}= \widehat {ATB}+\widehat {ASB}= \widehat {AOK}+\widehat {AKO}=90$

Συνεπώς η

είναι διάμετρος, που σημαίνει ότι διέρχεται από το κέντρο

του κύκλου.

Συμπεραίνουμε ότι το

βλέπει υπό ορθή γωνία το σταθερό τμήμα

, που σημαίνει ότι ο τόπος του είναι σε κύκλο διαμέτρου

(το σημειωμένο κόκκινο τμήμα του).

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2026 7:55 pm Οι κύκλοι έχουν διάκεντρο . Σημείο κινείται στον . Οι ,

τέμνουν τον στα . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής του στην .

Καλημέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα...

: Ενδιάμεσος τόπος 1png.png (83.13 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

Οι δοθέντες κύκλοι είναι ορθογώνιοι μεταξύ των επειδή το τρίγωνο $\displaystyle{AOK}$ είναι ορθογώνιο.

Είναι:

$\displaystyle{\phi=\omega 1 +\theta 1 \Rightarrow \phi=\omega +\theta = 90^o \ \ (1) }$

Άρα το $\displaystyle{QA}$ ύψος του τριγώνου $\displaystyle{SPQ}$

Όμοια το $\displaystyle{PB}$ ύψος του τριγώνου $\displaystyle{SPQ}$

Άρα το σημείο $\displaystyle{H}$ ορθόκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{SPQ}$ και προφανώς το ορθόκεντρο αυτό

ανήκει στον κύκλο $\displaystyle{(K,3)}$ που σημαίνει ότι το τρίτο ύψος $\displaystyle{SD}$ διέρχεται από το κέντρο $\displaystyle{K}$ .

Ύστερα από αυτά φαίνεται ότι το σημείο $\displaystyle{D}$ ανήκει στον κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{OK}$ (κόκκινος στο σχήμα).

Έτσι ο ζητούμενος γ. τόπος είναι ολόκληρος ο κύκλος αυτός.

Κώστας Δόρτσιος

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 13, 2026 7:55 pm Ενδιάμεσος τόπος.pngΟι κύκλοι έχουν διάκεντρο . Σημείο κινείται στον . Οι ,

τέμνουν τον στα . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής του στην .

: Ενδιάμεσος τόπος.png (33.4 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές

Το κόκκινο τόξο του κύκλου διαμέτρου OK.

Με πρόλαβαν ο Μιχάλης και ο Κώστας. Αφήνω το σχήμα.

Ενδιάμεσος τόπος

Ενδιάμεσος τόπος

Re: Ενδιάμεσος τόπος

Re: Ενδιάμεσος τόπος

Re: Ενδιάμεσος τόπος

Μέλη σε σύνδεση