Τριγωνική ισοδυναμία

KARKAR · #1

: Τριγωνική ισοδυναμία.png (21.98 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

Σε σημείο

ημικυκλίου διαμέτρου

φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

και την κάθετη της

στο

, στο σημείο

. Για ποια θέση του

τα τρίγωνα AST

και

είναι ισεμβαδικά ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2026 3:20 pm
Τριγωνική ισοδυναμία.pngΣε σημείο ημικυκλίου διαμέτρου φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο

και την κάθετη της στο , στο σημείο . Για ποια θέση του τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά ;

: τριγ ισοδ.png (23.07 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

.
Με αρχή των αξόνων το κέντρο

του ημικυκλίου ακτίνας

είναι $S(a,\, \sqrt {R^2-a^2})$ για κάποιο

(ζητούμενο). H κλίση της

είναι $\dfrac {\sqrt {R^2-a^2}}{a}$ , άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

$y=\dfrac {-a}{\sqrt {R^2-a^2}} (x-a) + \sqrt {R^2-a^2}$

Άρα $T\left ( 0, \, \dfrac {(a+R)R}{\sqrt {R^2-a^2}} \right )$ και $P\left ( \dfrac {R^2}{a} ,\, 0 \right )$ (άμεσα). Έτσι η ισότητα των εμβαδών γράφεται

$\dfrac {1}{2} AT \cdot (R+a)= \dfrac {1}{2} BP \cdot \sqrt {R^2-a^2}$ ή αλλιώς

$\dfrac {1}{2} \dfrac {(a+R)R}{\sqrt {R^2-a^2}} \cdot (R+a)= \dfrac {1}{2} \left ( \dfrac {R^2}{a} -R\right ) \cdot \sqrt {R^2-a^2}$

Λύνοντας την δευτεροβάθμια που προκύπτει θα βρούμε $\boxed {a= \dfrac {R}{3} }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2026 3:20 pm
Τριγωνική ισοδυναμία.pngΣε σημείο ημικυκλίου διαμέτρου φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο

και την κάθετη της στο , στο σημείο . Για ποια θέση του τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά ;

.

: τριγ ισοδ 2.png (28.62 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

.
Αλλιώς: Επειδή η

διαιρεί το λευκό τρ'ιγωνο σε δύο ίσα μέρη, η υπόθεση ότι τα τρίγωνα AST

και

είναι ισεμβαδικά γράφεται ισοδύναμα

(TAOS)=(OSP)

, δηλαδή

. Ισοδύναμα $2\times \dfrac {1}{2} hR= \dfrac {1}{2}R\cdot SP$ .

Έπεται SP=2h

και άρα

.

Συνεπώς $AP=\sqrt {(3h)^2-h^2}= 2\sqrt 2 h$ . 'Αρα από το ορθογώνιο τρίγωνο OSP

έχουμε

, ισοδύναμα

$(2\sqrt 2 h-R)^2= R^2+(2h)^2$

Λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει, θα βρούμε $\boxed {h=R\sqrt 2}$ .

Συνοψίζοντας, για να βρούμε το

παίρνουμε μήκος $AT=h=R\sqrt 2$ , και από το

φέρνουμε εφαπτομένη στο ημικύκλιο. Εκεί που το τέμνει είναι το ζητούμενο σημείο

.

#4

KARKAR post έγραψε:Τριγωνική ισοδυναμία.pngΣε σημείο ημικυκλίου διαμέτρου φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο και την κάθετη της στο , στο σημείο . Για ποια θέση του τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά ;

Έστω ότι έχει βρεθεί το σημείο $S\in (O)$ τέτοιο ώστε να ισχύει το ζητούμενο $(AST)=(BSP) \ \ ,(1)$

Θα αποδειχθεί ότι το σημείο

είναι σταθερό, ως το συμμετρικό του

ως προς το σημείο

$\bullet$ Από (1)

και $(OAS)=(OBS)\Rightarrow$ $(APST)=(OSP) \ \ ,(2)$

Από (2)

και $(OAT)=(OST)\Rightarrow$ $(OSP)=2(OST)\Rightarrow$ $(PS)(OS)=2(ST)(OS)\Rightarrow$ $\boxed{PS=2(ST)} \ \ ,(3)$

Έστω

το σημείο τομής της

από την εφαπτομένη του δοσμένου ημικυκλιου (O),

στο σημείο

Από $BR\parallel AT\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{PB}{PA}= \frac{PR}{PT}= \frac{BR}{AT}= \frac{SR}{ST}\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{PR}{PT}= \frac{SR}{ST}} \ \ ,(4)$

: Τριγωνική ισοδυναμία.; f=171 t=79235.PNG (14.55 KiB) Προβλήθηκε 43 φορές

$\bullet$ Από (4)

έχουμε ότι η σημείοσειρά T, S, R, P

είναι αρμονική και επομένως ισχύει $\boxed{(T,S,R,P)=2} \ \ ,(5)$

( Είναι γνωστό ότι ο Διπλός λόγος αρμονικής σημειοσειράς ισούται με 2 )

Από $(5)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{RT}{RS}\div \frac{PT}{PS}=2\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{RT}{RS}= \frac{2(PT)}{PS}} \ \ ,(6)$

Από (3), (6)

και

λόγω της

προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{RT}{RS}= 3\Rightarrow$ $RT= 3(RS)\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{RS}{ST}= \frac{1}{2}} \ \ ,(7)$

Από $(4), (7)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{PR}{PT}= \frac{1}{2}\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle \frac{PB}{PA}= \frac{1}{2}} \ \ ,(8)$

Από $(8)\Rightarrow$ $\boxed{PB=AB}$ και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Σε συσχετισμό με την λύση του Μιχάλη πιο πάνω (#2) εάν

είναι η προβολή του σημείου

επί της

από

και $QS\parallel AT$

$\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{QB}{QA}=\frac{1}{2}\Rightarrow$ $\boxed{\displaystyle a= OQ= \frac{R}{3}}$ όπου OA=R=OB.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2026 3:20 pm
Τριγωνική ισοδυναμία.pngΣε σημείο ημικυκλίου διαμέτρου φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο

και την κάθετη της στο , στο σημείο . Για ποια θέση του τα τρίγωνα και είναι ισεμβαδικά ;

Ας είναι $BS \cap AT=C$ .Επειδή $\angle CSA=90^0$ και TA=TS

θα είναι και AT=TC

,επομένως

άρα

συνεπώς

Θεωρούμε λοιπόν

συμμετρικό του

ως προς

και φέρουμε την εφαπτόμενη

στο

ημικύκλιο που τέμνει την κάθετη στην

στο

Υπολογισμοί

Το

είναι κ.βάρους του τριγώνου ACP

.Άρα ,αν

τότε

και με Π.Θ

στο τρίγωνο ATP

εύκολα παίρνουμε $x=R \sqrt{2}$

: Τριγωνική ισοδυναμία.png (42.91 KiB) Προβλήθηκε 15 φορές

Τριγωνική ισοδυναμία

Τριγωνική ισοδυναμία

Re: Τριγωνική ισοδυναμία

Re: Τριγωνική ισοδυναμία

Re: Τριγωνική ισοδυναμία

Re: Τριγωνική ισοδυναμία

Μέλη σε σύνδεση