Bolzano και Θ.Μ.Τ.

vanalex · #1

Καλησπέρα σε όλους!

Έστω μια συνάρτηση f:[α, β] --> R η οποία είναι γνησίως μονότονη και συνεχής με $f(x)\neq 0$ για κάθε x $\in [\alpha , \beta ]$ . Να αποδείξετε ότι:
A. H εξίσωση $\frac{2}{f(x)}=\frac{1}{f(\alpha) }+\frac{1}{f(\beta )}$ έχει μια μόνο ρίζα $x_{0}\in (\alpha , \beta )$ .
B. Υπάρχουν $\xi _{1}, \xi _{2} \in (\alpha , \beta )$ τέτοια ώστε $\acute{f}(\xi _{1})\acute{f}(\xi _{2})>0$ .

Την ξεκινώ και θα φτάσω στην απορία μου..
Α.Θεωρώ την συνάρτηση $g(x)=\frac{2}{f(x)} - \frac{1}{f(\alpha )}-\frac{1}{f(\beta )}$ εφαρμόζω για την g(x) Θεώρημα Bolzano στο [α, β] αφού:
1) g συνεχής στο [α, β]
2) g(α) = $\frac{1}{f(\alpha )}-\frac{1}{f(\beta )}$
g(β) = $-(\frac{1}{f(\alpha )}-\frac{1}{f(\beta )})$
άρα g(α)g(β) = $-(\frac{1}{f(\alpha )}-\frac{1}{f(\beta )})^{2}$ < 0 οπότε υπάρχει 1 τουλάχιστον $x_{0}\in (\alpha , \beta )$ ώστε $g(x_{0})=0$ .

B. Εφαρμόζω το Θ.Μ.Τ. δύο φορές στα διαστήματα $[\alpha , x_{0}], [x_{0}, \beta ]$ αφού η f πληρεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος οπότε προκύπτει ότι:
υπάρχει 1 τουλάχιστον $\xi _{1}\in (\alpha , x_{0})$ ώστε $\acute{f}(\xi _{1})=\frac{f(x_{0})-f(\alpha )}{x_{0}-\alpha }$ .

Αντικαθιστώντας όπου $f(x_{0})$ από το πρώτο ερώτημα $f(x_{0})=\frac{2f(\alpha )f(\beta )}{f(\alpha )+f(\beta )}$ προκύπτει ότι:

$\acute{f}(\xi _{1})=\frac{f(x_{0})-f(\alpha )}{x_{0}-\alpha }=\frac{f(\alpha )(f(\beta )-f(\alpha ))}{(x_{0}-\alpha )(f(\alpha )+f(\beta ))}$

Ομοίως εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. στο $[x_{0}, \beta ]$ για την f προκύπτει ότι υπάρχει 1 τουλάχιστον $\xi _{2}\in (x_{0}, \beta )$ ώστε :

$\acute{f}(\xi _{2})=\frac{f(\beta )-f(x_{0})}{\beta -x_{0}}=\frac{f(\beta )(f(\beta )-f(\alpha ))}{(f(\alpha )+f(\beta ))(\beta -x_{0})}$

To γινόμενο που ζητά το β ερώτημα είναι:

$\acute{f}(\xi _{1})\acute{f}(\xi _{2})=\frac{f(\alpha )f(\beta )(f(\beta )-f(\alpha ))^{2}}{(x_{0}-\alpha )(\beta -x_{0})(f(\alpha )+f(\beta ))^{2}}$

Αφού η f γνησίως μονότονη είναι και 1 - 1 οπότε $f(\alpha )\neq f(\beta )$ , άρα τα τετράγωνα είναι πάντα θετικά. Επίσης και τα διαστήματα $x_{0}-\alpha , \beta - x_{0}$ είναι θετικά. To γινόμενο f(α)f(β);;

Ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας και συγγνώμη αν μακρυγόρησα αλλά ήθελα να είμαι σαφής.

vanalex · #2

Με συγχωρείτε δεν σχολίασα τη μοναδικότητα της ρίζας στο Α ερώτημα που προκύπτει από το συνδυασμό του Θ. Βolzano και της μονοτονίας της συνάρτησης..

mathxl · #3

Αφού η f είναι συνεχής και διάφορη του 0 θα διατηρεί πρόσημο στο [α,β]

vanalex · #4

Αφελέστατος είμαι..σ' ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

Bolzano και Θ.Μ.Τ.

Bolzano και Θ.Μ.Τ.

Re: Bolzano και Θ.Μ.Τ.

Re: Bolzano και Θ.Μ.Τ.

Re: Bolzano και Θ.Μ.Τ.

Μέλη σε σύνδεση