Ημικύκλιο σε ισοσκελές

KARKAR · #1

: Ημικύκλιο σε ισοσκελές.png (8.81 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC

, το ύψος

είναι ίσο με την βάση

. Εντοπίστε σημείο

του σκέλους

, τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου

να εφάπτεται του σκέλους

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 03, 2026 9:44 am Ημικύκλιο σε ισοσκελές.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , το ύψος είναι ίσο με την βάση . Εντοπίστε σημείο

του σκέλους , τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου να εφάπτεται του σκέλους .

: ημικ σε ισοσ.png (13.3 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές

.
Με Αναλυτική γιατί είναι ρουτίνα, αλλά με τίμημα κάποιες πράξεις:

Με αρχή των αξόνων το

είναι $B(-p,0), \, C(p,0), \, A(0,2p)$ . Άρα η εξίσωση της

είναι

, και συνεπώς το

είναι της μορφής S(a, 2(p-a)

και το κέντρο

τού ημικυκλίου είναι το K(a/2, p-a)

.

H

έχει εξίσωση y=2(x+p)

(*) και

ως κάθετη της

έχει κλίση $-\dfrac {1}{2}$ και άρα η εξίσωσή της είναι η $y= \dfrac {1}{2} (x-\dfrac {a}{2})+p-a$ (**).

Λύνοντας το σύστημα των (*),(**) θα βρούμε το $P\left ( -\dfrac {2}{5} p -\dfrac {3}{10}a, \, \dfrac {6}{5} p -\dfrac {3}{5}a, \right )$

Τώρα από την ακτίνα του κύκλου έχουμε KM^2=KP^2

ή αλλιώς μετά τις απλοποιήσεις,

$\displaystyle{\left ( \dfrac {a}{2} \right )^2 +(p-a)^2 = \dfrac {1}{5} (p+2a)^2 }$

Λύνοντας ως προς

θα βρούμε $\boxed { a= \dfrac {4}{9}(7-2\sqrt {10})p}$ από όπου προσδιορίζουμε αμέσως το

, π.χ. φέρνοντας κάθετο στην

σε απόσταση

από το

.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιουν 03, 2026 9:44 am Ημικύκλιο σε ισοσκελές.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , το ύψος είναι ίσο με την βάση . Εντοπίστε σημείο

του σκέλους , τέτοιο ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου να εφάπτεται του σκέλους .

Είναι $b=c=\dfrac{a\sqrt 5}{2}.$ Συμπληρώνω τον κύκλο που επανατέμνει την

στο

και την

στο

Λόγω

της ομοιότητας των τριγώνων SDC, AMC,

αν

θα είναι

οπότε $SC=x\sqrt 5.$

$\displaystyle CE \cdot CS = CD \cdot CM \Leftrightarrow CEx\sqrt 5 = x\frac{a}{2} \Leftrightarrow CE = \frac{{a\sqrt 5 }}{{10}}$ και $\displaystyle AE = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$

: Ημικύκλιο σε ισοσκελές.png (16.64 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

$\displaystyle A{P^2} = AS \cdot AE = (b - SC)AE = \left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2} - x\sqrt 5 } \right)\frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow$ $\boxed{AP=\sqrt{a(a-2x)}}$

$\displaystyle B{P^2} = BM \cdot BD = \frac{a}{2}(a - x) \Leftrightarrow$ $\boxed{BP=\sqrt{\dfrac{a}{2}(a-x)}}$

$\displaystyle AP + BP = b \Leftrightarrow \sqrt {a(a - 2x)} + \sqrt {\frac{{a(a - x)}}{2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2},$ απ' όπου $\boxed{x = \frac{{(8\sqrt {10} - 19)a}}{{18}}}$

Ημικύκλιο σε ισοσκελές

Ημικύκλιο σε ισοσκελές

Re: Ημικύκλιο σε ισοσκελές

Re: Ημικύκλιο σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση