Παράλληλο και ίσο

KARKAR · #1

: Παράλληλο και ίσο.png (20.02 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, το σημείο

είναι το μέσο της βάσης

. Ονομάζω

τις προβολές

των B , C

αντίστοιχα , σε ευθεία που διέρχεται από το

και είναι κάθετη στην διχοτόμο

.

Δείξτε ότι :

MC' \parallel BA

και :

MC'=MB'

.

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 08, 2026 6:19 pm Στο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της βάσης . Ονομάζω τις προβολές

των αντίστοιχα , σε ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην διχοτόμο .

Δείξτε ότι : $MC' \parallel BA$ και : $MC'=MB'$ .

: shape.jpg (41.93 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές

Θέτω

E \equiv BA \cap CC'\, \wedge \,Z \equiv CA \cap BB'

.

Τα τρίγωνα

ABZ,ACE

είναι ισοσκελή, οπότε τα B',C'

είναι τα αντίστοιχα μέσα των BZ,CE

.

Εύκολα πλέον

MC'\parallel BA

και

MC' = \dfrac{{AB + AE}}{2} = \dfrac{{AC + AZ}}{2} = MB'

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 08, 2026 6:19 pm Παράλληλο και ίσο.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της βάσης . Ονομάζω τις προβολές

των αντίστοιχα , σε ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην διχοτόμο .

Δείξτε ότι : $MC' \parallel BA$ και : $MC'=MB'$ .

Ας είναι

είναι μέσα των AB,AC

.Επειδή

\angle B_{1} = \angle C_{1}= \dfrac{A}{2}

θα είναι και

\angle B'_{1} =\angle C'_{1}= \dfrac{A}{2}

Άρα

\angle BKy= \angle A= \angle CLx

και οι

B'y,C'x

ως παράλληλες στις AC,AB

περνούν από το

Επειδή

\angle MB'C'= \angle MC'B'=90^0- \dfrac{A}{2} \Rightarrow MB'=MC'

: Παράλληλο και ίσο.png (24.44 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 08, 2026 6:19 pm Παράλληλο και ίσο.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της βάσης . Ονομάζω τις προβολές

των αντίστοιχα , σε ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην διχοτόμο .

Δείξτε ότι : $MC' \parallel BA$ και : $MC'=MB'$ .

: παράλ ίσα.png (18.89 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές

.
Για λόγους πληρότητας ας το δούμε με Αναλυτική Γεωμετρία γιατί η λύση είναι ρουτίνα. Αργότερα θα βάλω και Ευκλείδεια λύση.

Σχεδιάζω το σχήμα ακριβώς ανάποδα, αλλά κρατώ τα ίδια γράμματα, για να είναι η αρχή

των αξόνων στην συνηθισμένη θέση. Είναι τότε

A(0,0), \, C'(c,0), \, B'(b,0)

και οι ευθείες AB, AC

ως συμμετρικές ως προς τον άξονα των

έχουν εξισώσεις

y=mx, \, y=-mx

, αντίστοιχα. Άρα είναι

C(c,-mc), \, B(b,mb)

και άρα το μέσον

της

είναι

M\left (\dfrac {b+c}{2},\, \dfrac {m(b-c)}{2} \right)

Άρα η κλίση της MC'

είναι

\dfrac {\dfrac {m(b-c)}{2} }{\dfrac {b+c}{2}-c}=m

και άρα είναι παράλληλη της

, όπως θέλαμε.

Επίσης

MC'=\sqrt {\left (\dfrac {b+c}{2} -c\right )^2 + \left (\dfrac {m(b-c)}{2}\right )^2 }= \dfrac {1}{2} |b-c|\sqrt {1+m^2}

και όμοια

MB'= \dfrac {1}{2} |b-c|\sqrt {1+m^2}

, δηλαδή

MC'=MB'

, όπως θέλαμε.

#5

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 08, 2026 6:19 pm Παράλληλο και ίσο.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της βάσης . Ονομάζω τις προβολές

των αντίστοιχα , σε ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην διχοτόμο .

Δείξτε ότι : $MC' \parallel BA$ και : $MC'=MB'$ .

: παράλληλο και ίσο _new.png (31.16 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

1. Διαδοχικά έχω :

{a_1} = {a_2} = {a_3} = {a_4}\,\,\, \Rightarrow BA//MC'

2. Αν

το μέσο του B'C'

τότε από το τραπέζιο , B'BCC'

θα είναι:

MK \bot B'C'\,\,\, \Rightarrow MB' = MC'

giannimani · #6

Αν

το μέσο του B'C'

, τότε το τρίγωνο MB'C'

ισοσκελές εφόσον η διάμεσος

είναι και ύψος.

Η ευθεία

(B'C')

εξωτερική διχοτόμος της γωνίας BAC

, οπότε αν

το δεύτερο σημείο τομής της
με τον περιγεγραμμένο κύκλο $\Omega$ του $\triangle ABC$ , τότε το

μέσο του τόξου BAC

, οπότε $EM \bot BC$ .
Οι κύκλοι $\Omega$ και

(CC'EM)\equiv \omega

τέμνονται στα σημεία

και

. Οι ευθείες (BC)

και

(B'C')

διέρχονται
αντίστοιχα από αυτά και τέμνουν τους $\Omega$ και $\omega$ στα σημεία

,

και

,

. Σύμφωνα με το θεώρημα Reim
θα είναι

AB \parallel MC'

.

: parallel_and_equal.png (53.4 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 08, 2026 6:19 pm Παράλληλο και ίσο.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της βάσης . Ονομάζω τις προβολές

των αντίστοιχα , σε ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην διχοτόμο .

Δείξτε ότι : $MC' \parallel BA$ και : $MC'=MB'$ .

είναι διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας

κι ας είναι AC>AB

Με

C'M \cap B'B=P \Rightarrow C'CPB

παραλ/μμο,άρα

C'M=MP

άρα

C'M = ΜΒ'

και

C'C=BP

Ισχύει,

\dfrac{QB}{QC}= \dfrac{BB'}{CC'}= \dfrac{BB'}{BP} (1)

και

\dfrac{QB}{QC}= \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{AB'}{AC'} (2)

Από

(1) , (2) \Rightarrow \dfrac{BB'}{BP}= \dfrac{AB'}{AC'} \Rightarrow MC'//AB

Η περίπτωση AB=AC

είναι εύκολη

: Παράλληλο και ίσο.png (27.22 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

STOPJOHN · #8

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 08, 2026 6:19 pm Παράλληλο και ίσο.pngΣτο τρίγωνο , το σημείο είναι το μέσο της βάσης . Ονομάζω τις προβολές

των αντίστοιχα , σε ευθεία που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην διχοτόμο .

Δείξτε ότι : $MC' \parallel BA$ και : $MC'=MB'$ .

MM'\perp B'C',M'B'=M'C'\Rightarrow MB'=MC'

Έστω

BH\perp AD,

τότε δημιουργούνται δυο ισοσκελή τρίγωνα

ABH,BDH

,το

ορθογώνιο

A\Theta BB'

. Είναι

\hat{BB'\Theta }=\phi =\hat{BAD}=\hat{DAH}=\hat{D\Theta M}=\hat{M'MC'}=\hat{MC'C},

\hat{DBH}=\hat{DHB}=\nu ,\hat{HDC}=2\nu ,\hat{C}=90-\phi -\nu , \hat{C'MC}=90-\phi +\nu =\hat{ABM}\Rightarrow AB//MC'

Παράλληλο και ίσο

Παράλληλο και ίσο

Re: Παράλληλο και ίσο

Re: Παράλληλο και ίσο

Re: Παράλληλο και ίσο

Re: Παράλληλο και ίσο

Re: Παράλληλο και ίσο

Re: Παράλληλο και ίσο

Re: Παράλληλο και ίσο

Μέλη σε σύνδεση