Υπάρχει

KARKAR · #1

: Υπάρχει ;.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές

Υπάρχει άραγε τρίγωνο ABC

, στο οποίο οι πλευρές c , b , a

, είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής

προόδου και στο οποίο το ύψος

, η διχοτόμος

και η διάμεσος

συντρέχουν ; ( σε σημείο

) .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 09, 2026 7:27 am Υπάρχει ;.pngΥπάρχει άραγε τρίγωνο , στο οποίο οι πλευρές , είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής

προόδου και στο οποίο το ύψος , η διχοτόμος και η διάμεσος συντρέχουν ; ( σε σημείο ) .

$\displaystyle \bullet$ Για ισόπλευρο τρίγωνο a=b=c

ισχύει, αλλά η Α.Π δεν είναι γνησίως αύξουσα.

: Υπάρχει.Κ.png (9.89 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

$\displaystyle \bullet$ Έστω

c<b<a,

τότε από $\rm Ceva$ είναι:

\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{c}{a} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{a} = \dfrac{c}{{a + c}} \Leftrightarrow BD = \dfrac{{ac}}{{a + c}},DC = \dfrac{{{a^2}}}{{a + c}}

{b^2} - {c^2} = D{C^2} - D{B^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{{(a + c)}^2}}}{4} - {c^2} = a\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{a + c}} - \dfrac{{ac}}{{a + c}}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{c < a}

\boxed{a = \frac{c}{3}(2 + \sqrt {13} )}

Στη συνέχεια,

\boxed{b = \frac{{a + c}}{2} = \frac{c}{6}(5 + \sqrt {13} )}

Άρα το τρίγωνο υπάρχει.

Υπάρχει

Υπάρχει

Re: Υπάρχει

Μέλη σε σύνδεση