Σύνολο

mick7 · #1

Να προσδιορίσετε το μεγαλύτερο υποσύνολο του

[0,π]

που περιγράφει τις τιμές του

για τις οποίες

sin(x+y)≤sin(x)+sin(y)

για κάθε

μεταξύ

και

, συμπεριλαμβανομένων και των άκρων.

#2

mick7 έγραψε: Τετ Ιουν 24, 2026 2:13 pm Να προσδιορίσετε το μεγαλύτερο υποσύνολο του $[0,π]$ που περιγράφει τις τιμές του για τις οποίες

$sin(x+y)≤sin(x)+sin(y)$

για κάθε μεταξύ και $\pi$ , συμπεριλαμβανομένων και των άκρων.

.
Απάντηση: Όλο το $[0,\pi]$

Mε χρήση του

\sin \theta \ge 0

για

\theta \in [0,\pi]

έχουμε

\sin(x+y)≤\sin(x)+\sin(y)

\Leftrightarrow \sin(x+y)- \sin(y)\le \sin(x)

\Leftrightarrow 2\cos \left ( \dfrac {x+2y}{2}\right ) \sin \left ( \dfrac {x}{2}\right ) \le 2\sin \left ( \dfrac {x}{2}\right )\cos \left ( \dfrac {x}{2}\right )

\Leftrightarrow \cos \left ( \dfrac {x+2y}{2}\right ) \le \cos \left ( \dfrac {x}{2}\right )

\Leftrightarrow \cos \left ( \dfrac {x+2y}{2}\right ) - \cos \left ( \dfrac {x}{2}\right )\le 0

\Leftrightarrow -2 \sin \left ( \dfrac {x+y}{2}\right ) \sin \left ( \dfrac {y}{2}\right )\le 0

\Leftrightarrow -2 \sin \left ( \dfrac {x+y}{2}\right ) \le 0

\Leftrightarrow \sin \left ( \dfrac {x+y}{2}\right ) \ge 0

που ισχύει για κάθε

x,y\in [0,\pi]

διότι

0\le \dfrac {x+y}{2} \le \dfrac {\pi+\pi}{2}=\pi

#3

Καλησπέρα σε όλους. Κάπως διαφορετικά.

Για κάθε

t \in \left[ {0,\pi } \right]

είναι

- 1 \le \sigma \upsilon \nu t \le 1

και

0 \le \eta \mu t \le 1

Οπότε για κάθε

x,y \in \left[ {0,\pi } \right]

είναι

\eta \mu x \cdot \sigma \upsilon \nu y \le \eta \mu x

και

\sigma \upsilon \nu x \cdot \eta \mu y \le \eta \mu y

Προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε

\eta \mu \left( {x + y} \right) \le \eta \mu x + \eta \mu y

Σύνολο

Σύνολο

Re: Σύνολο

Re: Σύνολο

Μέλη σε σύνδεση