Ισότητα ανομοίων

KARKAR · #1

Στην μεσοκάθετο της διαμέτρου

POQ=\dfrac{20}{3}

του ημικυκλίου μας , θεωρούμε σημείο

και φέρουμε τις εφαπτόμενες ,

οι οποίες τέμνουν την προέκταση της

στα σημεία B , C

. Η εφαπτομένη του ημικυκλίου που είναι παράλληλη

προς την διάμετρο , τέμνει τις AB , AC

, στα σημεία S,T

αντίστοιχα . Υπολογίστε το τμήμα

, ώστε το εμβαδόν

του ισοσκελούς τραπεζίου BSTC

, να ισούται αριθμητικά με την περίμετρό του .

add2math · #2

Τα τρίγωνα AST,ABC

είναι προφανώς όμοια, έστω με λόγο ομοιότητας $\lambda$ ,
οπότε

\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{ST}{BC}=\dfrac{AM}{AO}\Rightarrow \dfrac{AM}{MO}=\dfrac{1}{\lambda-1}\Rightarrow AM=\dfrac{R}{\lambda-1}

, όπου

η ακτίνα του ημικυκλίου.
Για το ισοσκελές τραπέζιο έχουμε

$(BSTC)=\dfrac{B+\beta}{2}\cdot\upsilon=\dfrac{\Pi-2TC}{2}\cdot R$ , όπου $\Pi$ η περίμετρός του.

$(BSTC)=(ABC)-(AST)=(\lambda^2-1)(AST)$ , λόγω της ομοιότητάς των δυο τριγώνων.
Άρα $(BSTC)=(\lambda^2-1)\cdot MT\cdot AM=(\lambda^2-1)\cdot MT\cdot \dfrac{R}{\lambda-1}=(\lambda+1)\cdot MT\cdot \dfrac{10}{3}$

Συνεπώς έχουμε

Η ισότητα των ανομοίων της εκφώνησης δίνει

(\lambda+1)\cdot MT\cdot \dfrac{10}{3}=(4\lambda+2)MT\Leftrightarrow \lambda=2

Συνεπώς

\boxed{AO=2AM=2R}