Εκθετικός πίνακας

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ένας $2 \times 2$ πίνακας τέτοιος ώστε

\mathrm{tr}(A)=0

. Να δειχθεί ότι:

\exp A = \mathbb{I}_{2 \times 2}\cos \sqrt{\det A} + \frac{\sin \sqrt{\det A}}{\sqrt{\det A}} A

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Ιούλ 24, 2026 8:48 pm Έστω ένας $2 \times 2$ πίνακας τέτοιος ώστε $\mathrm{tr}(A)=0$ . Να δειχθεί ότι:

$\exp A = \mathbb{I}_{2 \times 2}\cos \sqrt{\det A} + \frac{\sin \sqrt{\det A}}{\sqrt{\det A}} A$

.
Ξεχάστηκε. Είναι άμεσο με απλές πράξεις και χρήση του

\exp A = I + A + \dfrac {A^2}{2!}+ \dfrac {A^3}{3! } +...

για πίνακες (εξ ορισμού), και τους

\cos x= 1 - \dfrac {x^2}{2!}+ \dfrac {x^4}{4!} - ...

και

\sin x= x - \dfrac {x^3}{3!}+ \dfrac {x^5}{5!} - ...

για

x\in \mathbb C

.

Εδώ εξ υποθέσεως

A= \begin{pmatrix} a & b \\ c& -a\\ \end{pmatrix}

οπότε

\det A= -a^2-bc= d

και αμέσως

A^2= \begin{pmatrix} a^2+bc & 0 \\ 0& a^2+bc\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -d & 0 \\ 0& -d\\ \end{pmatrix}=-d\,\mathbb{I}_{2 \times 2}

. Έπεται

Α^{2n}= (-d)^n\,\mathbb{I}_{2 \times 2}

και

Α^{2n+1}= Α \cdot A ^{2n}= (-d)^n\,A

, οπότε μαζεύοντας ομοιειδείς όρους έχουμε

\exp A= \left ( 1 - \dfrac {d}{2!}+ \dfrac {d^2}{4!} - ... \right ) \mathbb{I}_{2 \times 2}+ \left ( 1 - \dfrac {d}{3!}+ \dfrac {d^2}{5!} - ... \right ) A= \cos \sqrt{d} \,\mathbb{I}_{2 \times 2}+ \dfrac{\sin \sqrt{d}}{\sqrt{d}} \,A

, όπως θέλαμε.

Εκθετικός πίνακας

Εκθετικός πίνακας

Re: Εκθετικός πίνακας

Μέλη σε σύνδεση