Προσδιορισμός σημείων

#1

: Προσδιορισμός σημείων.png (7.97 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Δίδεται $\vartriangle ABC$ . Να αχθεί ευθεία παράλληλη στην

, τέμνουσα τις πλευρές

και

στα $D\,\,\,$ και

ώστε:

BD + 2CE = DE

.

#2

Doloros έγραψε: Κυρ Αύγ 02, 2026 8:43 am Προσδιορισμός σημείων.png

Δίδεται $\vartriangle ABC$ . Να αχθεί ευθεία παράλληλη στην , τέμνουσα τις πλευρές και στα $D\,\,\,$ και

ώστε: $BD + 2CE = DE$ .

: Προσδ.png (12.12 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές

.
Εν αναμονή Γεωμετρικής λύσης, ας το δούμε αλγεβρικά.

Από τα όμοια τρίγωνα

ADE, \, ABC

έχουμε

\dfrac {c-x}{c}=\dfrac {b-y}{b}=\dfrac {x+2y}{a}

. Λύνοντας θα βρούμε

\boxed {x= \dfrac {ac}{a+2b+c}, \, y= \dfrac {ab}{a+2b+c}}

Γιώργος Μήτσιος · #3

Χαιρετώ την Κρήτη, καλό μήνα σε όλους!

: 1-8 προσδιορισμός Ν.Φ.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές

Φέρω την διχοτόμο

και ας είναι

το μέσον της

. Η διχοτόμος της $\widehat C$ τέμνει την

στο

.

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει τις AB,AC

στα ζητούμενα D,E

.

Πράγματι έχουμε λόγω των ίσων γωνιών BD=DF

και

CE=EN

. Ακόμη

EN=FN

αφού

FNE \parallel BC

και

το μέσον της

.

Οπότε

BD+2CE =DF+FN+NE=DE

.

Φιλικά, Γιώργος.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Αύγ 02, 2026 12:47 pm Χαιρετώ την Κρήτη, καλό μήνα σε όλους!

1-8 προσδιορισμός Ν.Φ.png
Φέρω την διχοτόμο και ας είναι το μέσον της . Η διχοτόμος της $\widehat C$ τέμνει την στο .

Η παράλληλη από το προς την τέμνει τις στα ζητούμενα .

Πράγματι έχουμε λόγω των ίσων γωνιών και $CE=EN$ . Ακόμη $EN=FN$ αφού $FNE \parallel BC$ και το μέσον της .

Οπότε $BD+2CE =DF+FN+NE=DE$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Η αξία της Αλγεβρικής λύσης ok , αλλά και η λύση του Γιώργου κέντημα

#5

Doloros έγραψε: Κυρ Αύγ 02, 2026 8:43 am Προσδιορισμός σημείων.png

Δίδεται $\vartriangle ABC$ . Να αχθεί ευθεία παράλληλη στην , τέμνουσα τις πλευρές και στα $D\,\,\,$ και

ώστε: $BD + 2CE = DE$ .

: Προσδ 2.png (16.06 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές

.
Θεωρούμε μεταβλητό σημείο

στην

. Φέρνουμε

παράλληλη της

και επ' αυτής παίρνουμε σημείο

τέτοιο ώστε

PM=BP+2QC

.

Εύκολα απόδεικνύεται ότι ο γεωμετρικός τόπος του

είναι ευθεία (το αφήνω ως απλό) την οποία μπορούμε να σχεδιάσουμε. Π.χ. εύκολα βρίσκουμε δύο σημεία της: Ένα άμεσο είναι το ίδιο το

. Η εν λόγω ευθεία είναι η κόκκινη στο σχήμα.

Εκεί που ο τόπος του

τέμνει την

είναι το ζητούμενο σημείο

. Ολοκληρώνουμε την κατασκευή βρίσκοντας το

ως την τομή της

με την παράλληλη της βάσης

που διέρχερται από το

. Τελιεώσαμε, αφού το

είναι σημείο του τόπου, και εκ κατασκευής

DE=BD + 2CE

.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 02, 2026 7:40 pm
Doloros έγραψε: Κυρ Αύγ 02, 2026 8:43 am Προσδιορισμός σημείων.png

Δίδεται $\vartriangle ABC$ . Να αχθεί ευθεία παράλληλη στην , τέμνουσα τις πλευρές και στα $D\,\,\,$ και

ώστε: $BD + 2CE = DE$ .
Προσδ 2.png
.
Θεωρούμε μεταβλητό σημείο στην . Φέρνουμε παράλληλη της και επ' αυτής παίρνουμε σημείο τέτοιο ώστε $PM=BP+2QC$ .

Εύκολα απόδεικνύεται ότι ο γεωμετρικός τόπος του είναι ευθεία (το αφήνω ως απλό) την οποία μπορούμε να σχεδιάσουμε. Π.χ. εύκολα βρίσκουμε δύο σημεία της: Ένα άμεσο είναι το ίδιο το . Η εν λόγω ευθεία είναι η κόκκινη στο σχήμα.

Εκεί που ο τόπος του τέμνει την είναι το ζητούμενο σημείο . Ολοκληρώνουμε την κατασκευή βρίσκοντας το ως την τομή της με την παράλληλη της βάσης που διέρχερται από το . Τελιεώσαμε, αφού το είναι σημείο του τόπου, και εκ κατασκευής $DE=BD + 2CE$ .

Πολύ ωραία σαν μέθοδος , καλύπτει όλα τα παρόμοια προβλήματα .

Αν το άλλο ακραίο σημείο είναι το

έχουμε ταύτιση του

με το

και

AZ = c + 2b

.

: Προσδιορισμός σημείων_Λάμπρου.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

#7

Doloros έγραψε: Κυρ Αύγ 02, 2026 8:43 am Προσδιορισμός σημείων.png

Δίδεται $\vartriangle ABC$ . Να αχθεί ευθεία παράλληλη στην , τέμνουσα τις πλευρές και στα $D\,\,\,$ και

ώστε: $BD + 2CE = DE$ .

Έστω λυμένο το πρόβλημα .Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

. Φέρνω και

ZH// = AC

.

Θέτω :

BD = x\,\,,\,\,DE = w\,\,,\,\,EC = y

και ισχύει ,

w = x + 2y\,\,\left( 1 \right)

. Ταυτόχρονα ισχύουν :

: Προσδιορισμός σημείων_Λύσ.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

\dfrac{x}{c} = \dfrac{w}{{AZ}}\,\,\left( 2 \right)\,\,\,

και

\dfrac{y}{{ZH}} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{w}{{AZ}}

δηλαδή έχω :

\dfrac{w}{{AZ}} = \dfrac{x}{c} = \dfrac{y}{b} \Rightarrow \boxed{\frac{w}{{AZ}} = \dfrac{{x + 2y}}{{c + 2b}}}\,\,\,\left( 3 \right)

, άρα αναγκαστικά ,

\boxed{AZ = c + 2b}

σταθερό .

Προσδιορισμός σημείων

Προσδιορισμός σημείων

Re: Προσδιορισμός σημείων

Re: Προσδιορισμός σημείων

Re: Προσδιορισμός σημείων

Re: Προσδιορισμός σημείων

Re: Προσδιορισμός σημείων

Re: Προσδιορισμός σημείων

Μέλη σε σύνδεση