Ορθογώνιο σε ορθογώνιο (Γ' Γυμνασίου )

KARKAR · #1

: Ορθογώνιο σε ορθογώνιο.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

κατασκευάζουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ADEZ

.

α) Δείξτε ότι το ορθογώνιο δεν μπορεί να καταλάβει περισσότερο από το $50\%$ της επιφάνειας του τριγώνου .

β) Αν οι διαστάσεις του ορθογωνίου έχουν λόγο 2:1

, ποιος πρέπει να είναι ο λόγος b:c

, ώστε

το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με το $48\%$ του εμβαδού του τριγώνου ;

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 21, 2026 1:47 pm Ορθογώνιο σε ορθογώνιο.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο κατασκευάζουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο .

α) Δείξτε ότι το ορθογώνιο δεν μπορεί να καταλάβει περισσότερο από το $50\%$ της επιφάνειας του τριγώνου .

β) Αν οι διαστάσεις του ορθογωνίου έχουν λόγο , ποιος πρέπει να είναι ο λόγος , ώστε

το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με το $48\%$ του εμβαδού του τριγώνου ;

: ορθ.png (21.33 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές

.
α) Από τα όμοια τρίγωνα ABC, DEB

έχουμε

\dfrac {q}{c-p}=\dfrac {b}{c}

, άρα

q=\dfrac {b(c-p)}{c}

(*) Οπότε από AM-ΓΜ έχουμε

(ADEZ)= pq= \dfrac {b(c-p)p}{c}\le \dfrac {b}{c}\left ( \dfrac {c-p+p}{2}\right ) ^2= \dfrac {1}{4}bc= \dfrac {1}{2}(ABC)

β) Αν

η (*), λύνοντας ως προς

, δίνει

p=\dfrac {2bc}{2b+c}

. Άρα

(ADEZ)= pq= \dfrac {1}{2}p^2= \dfrac {1}{2}\left ( \dfrac {2bc}{2b+c} \right ) ^2

και η υπόθεση γίνεται

\dfrac {1}{2}\left ( \dfrac {2bc}{2b+c} \right ) ^2= \dfrac {bc}{2}\cdot \dfrac {48}{100}

Λύνοντας την δευτεροβάθμια ως προς

\dfrac {b}{c}

θα βρούμε

\boxed {\dfrac {b}{c} =\dfrac {1}{3}}

ή

\boxed {\dfrac {b}{c} =\dfrac {3}{4}}

#3

Καλημέρα σε όλους. Δίνω μία ακόμα προσέγγιση στο (α) και μια γενίκευση στο (β), δίχως την αναλογία των πλευρών του αρχικού τριγώνου.

: ορθ.png (21.33 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές

α) Είναι

(ADEZ) = (ABC) – ((DEB) + (ZEC))

Από ομοιότητα των

DEB, ABC

και

CEZ, ABC

έχουμε

\dfrac{{DE}}{b} = \dfrac{{BD}}{c} \Leftrightarrow DE = \dfrac{b}{c} \cdot BD

και

\dfrac{{ZE}}{c} = \dfrac{{CZ}}{b} \Leftrightarrow CZ = \dfrac{b}{c}ZE

\left( {DEB} \right) + \left( {ZEC} \right) = \dfrac{{BD \cdot ED}}{2} + \dfrac{{ZE \cdot CZ}}{2} = \dfrac{b}{{2c}}\left( {B{D^2} + Z{E^2}} \right)

Επειδή

BD+ZE=c

, σταθερό, το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ελάχιστο όταν γίνουν ίσα, δηλαδή όταν

μέσο

.

Άρα

\left( {DEB} \right) + \left( {ZEC} \right) \ge \dfrac{b}{{2c}} \cdot 2{\left( {\frac{c}{2}} \right)^2} = \dfrac{{bc}}{4}

Οπότε

\left( {ADEZ} \right) \le \dfrac{{bc}}{2} - \dfrac{{bc}}{4} = \dfrac{{\left( {ABC} \right)}}{2}

, με το μέγιστο όταν

μέσο

.

β) Είναι

\dfrac{{AD}}{c} = \dfrac{{CZ}}{b} \Leftrightarrow CZ = \dfrac{b}{c} \cdot AD \Rightarrow AZ = b \cdot \dfrac{{c - AD}}{c}

(1)

Θέλουμε

\left( {ADEZ} \right) = \dfrac{{48}}{{100}}\left( {ABC} \right) \Leftrightarrow AD \cdot AZ = 0,24bc

(2)

Από την (1) και τη (2) έχουμε

A{D^2} - cAD + 0,24{c^2} = 0

, που δίνει ρίζες

AD = 0,6c\;\;\; \vee \;\;AD = 0,4c

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 21, 2026 1:47 pm Ορθογώνιο σε ορθογώνιο.pngΣε ορθογώνιο τρίγωνο κατασκευάζουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο .

α) Δείξτε ότι το ορθογώνιο δεν μπορεί να καταλάβει περισσότερο από το $50\%$ της επιφάνειας του τριγώνου .

β) Αν οι διαστάσεις του ορθογωνίου έχουν λόγο , ποιος πρέπει να είναι ο λόγος , ώστε

το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με το $48\%$ του εμβαδού του τριγώνου ;

a)Αν

και

(ADEZ)=S

,προφανώς ισχύει

2E=bx+cy\geq 2 \sqrt{cbxy}=2 \sqrt{2E.S} \Rightarrow S \leq \dfrac{E}{2}

b)

bx+cy=2E \Rightarrow bx+cy=bc \Rightarrow \dfrac{x}{c}+ \dfrac{y}{b} =1

και

xy=0.24bc \Rightarrow \dfrac{x}{c} . \dfrac{y}{b} = \dfrac{6}{25}

με

m=\dfrac{x}{c}

και

n=\dfrac{y}{b}

έχουμε το σύστημα

m+n=1 ,m.n=\dfrac{6}{25}

κλπ

: Ορθογώνιο σε ορθογώνιο.png (16.55 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές

Ορθογώνιο σε ορθογώνιο (Γ' Γυμνασίου )

Ορθογώνιο σε ορθογώνιο (Γ' Γυμνασίου )

Re: Ορθογώνιο σε ορθογώνιο (Γ' Γυμνασίου )

Re: Ορθογώνιο σε ορθογώνιο (Γ' Γυμνασίου )

Re: Ορθογώνιο σε ορθογώνιο (Γ' Γυμνασίου )

Μέλη σε σύνδεση