Δυσαρμονία

KARKAR · #1

Είναι δυνατόν η διχοτόμος

τριγώνου

, να ισούται με τον αρμονικό μέσο των b , c

;

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 6:31 am Δυσαρμονία.pngΕίναι δυνατόν η διχοτόμος τριγώνου , να ισούται με τον αρμονικό μέσο των ;

Όχι!

Πράγματι, αν η διχοτόμος

ισούται με τον αρμονικό μέσο των

b,c ,

τότε:

bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right) = \frac{{4{b^2}{c^2}}}{{{{(b + c)}^2}}} \Leftrightarrow {(b - c)^2} = {a^2},

απ' όπου

|b-c|=a,

που αντίκειται στην τριγωνική ανισότητα.

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 28, 2026 6:31 am Δυσαρμονία.pngΕίναι δυνατόν η διχοτόμος τριγώνου , να ισούται με τον αρμονικό μέσο των ;

.
Ως γνωστόν (βλέπε εδώ ) ισχύει

\delta _a=\dfrac {2bc}{b+c}\cos \dfrac {A}{2}

.

Οπότε σε μια τέτοια περίπτωση θα είχαμε

\dfrac {2bc}{b+c}\cos \dfrac {A}{2} =\dfrac {2bc}{b+c}

, δηλαδή

\cos \dfrac {A}{2}=1

, που είναι αδύνατον σε τρίγωνο.