Σύγκλιση ακολουθίας σε σταθερό σημείο συνάρτησης

Ιστοσελίδα · #1

Έστω

(ή γενικότερα κλειστό και φραγμένο διάστημα),

f\mathpunct{:}I\to I

συνεχής συνάρτηση και ακολουθία

\left(x_n\right)

του

με

x_{n+1}=x_n+\gamma_n(f(x_n)-x_n)

,

\gamma_n>0

,

\gamma_n\to 0

και

\sum_{n=1}^{\infty}\gamma_n=\infty

.

Να αποδειχθεί ότι η

\left(x_n\right)

συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό $a\in I$ με f(a)=a

.

Dimessi · #2

Υποθέτω ότι η ακολουθία x_n

δεν συγκλίνει στην

\overline{\mathrm{\mathbb{R}}},

τότε

a=\displaystyle \mathrm{liminf}x_{n}< b=\mathrm{limsup}x_{n}

και

\left | x_{n+1}-x_{n}\right |=\gamma _{n}\left | f\left ( x_{n} \right )-x_{n}\right |\overset{I=\left [ 0,1 \right ]}\leqslant 2\gamma _{n}\rightarrow 0,

άρα το

είναι το σύνολο των οριακών σημείων της ακολουθίας x_n

, επομένως για κάθε $y\in (a,b)$ υπάρχουν υπακολουθίες

x_{n_{q}},x_{n_{m}}

της

ώστε

x_{n_{q}}\leqslant y\leqslant x_{n_{q+1}}

και

x_{n_{m+1}}\leqslant y\leqslant x_{n_{m}}

, άρα

0\leqslant y-x_{n_{q}}\leqslant x_{n_{q+1}}-x_{n_{q}}\overset{q\rightarrow \infty}\rightarrow 0

και

x_{n_{m+1}}-x_{n_{m}}\leqslant y-x_{n_{m}}\leqslant 0.

\lim_{q \to \infty}x_{n_{q}}=\displaystyle \lim_{m \to \infty}x_{n_{m}}=y.

Από συνέχεια της h(x)=f(x)-x

είναι

h\left ( y \right )=h\left ( \displaystyle \lim_{m \to \infty} x_{n_{m}}\right )=\displaystyle \lim_{m \to \infty} h\left ( x_{n_{m}} \right ) \leqslant 0\wedge h\left ( y \right )=h\left ( \displaystyle \lim_{q \to \infty}x_{n_{q}} \right )=\displaystyle \lim_{q \to \infty}h\left ( x_{n_{q}} \right )\geqslant 0

, άρα

f(y)=y ,\forall y \in (a,b)

κι αφού για κάθε

a<y<b

,

x_k=y

για κάποιο $k\geqslant 1$

(x_{n+1}-x_n\rightarrow 0)

,
από την αρχική

x_{k+1}=x_{k}+\gamma _{k}h\left ( x_{k} \right )=x_{k}

\Longrightarrow x_{k+2}=x_{k+1}+\gamma _{k+1}h\left ( x_{k+1} \right )=x_{k}\Longrightarrow x_{k+3}=x_{k}\Longrightarrow ... \Longrightarrow x_{k+m}=x_{k}, \forall m\geqslant 0.

Πράγματι, αν για κάποιο $m \geqslant 1$ ισχύει

x_{k+m}=x_k,

τότε θα ισχύει και

x_{k+m+1}=x_{k+m}+\gamma _{k+m}h\left ( x_{k+m} \right )=x_{k}+\gamma _{k}h\left ( x_{k} \right )=x_{k}

και επαγωγικά

x_n=x_k

για κάθε

n\geqslant k.

Παίρνοντας τότε $n\rightarrow \infty$ η x_n

συγκλίνει , άτοπο εξ υποθέσεως.
Άρα η ακολουθία x_n

συγκλίνει κι αφού

0\leqslant x_n\leqslant 1

για κάθε

η

x_n \rightarrow a \in \mathbb{R}.

Έστω τώρα ότι

\left | h\left ( x_{n} \right )\right |\geqslant \varepsilon

για μεγάλα

n\geqslant N

και για κάποιο $\varepsilon >0.$ Πάλι από συνέχεια της

είτε

h\left ( x_{n} \right )\geqslant \varepsilon > 0

για κάθε $n \geqslant N$ είτε

h\left ( x_{n} \right )\leqslant -\varepsilon < 0

για κάθε

n \geqslant N.

Αν

h\left ( x_{n} \right )\geqslant \varepsilon

για κάθε

n\geqslant N,

τότε

x_{n+1}=x_{n}+\gamma _{n}h\left ( x_{n} \right )\geqslant x_{n}+\varepsilon \gamma _{n}\Longrightarrow \displaystyle \lim_{M \to \infty}\sum_{n=N}^{M} \left ( x_{n+1} -x_{n}\right )\geqslant \varepsilon \sum_{n=N}^{\infty}\gamma _{n}=\infty\Longrightarrow \displaystyle \lim_{M \to \infty}\left ( x_{M+1}-x_{N} \right )=\infty,

άτοπο διότι τότε

1\geqslant \lim_{M \to \infty}x_{M+1}=\infty.

Ομοίως αν

h\left ( x_{n} \right )\leqslant -\varepsilon < 0

για κάθε

n \geqslant N,

τότε

x_{n+1}=x_{n}+\gamma _{n}h\left ( x_{n} \right )\leqslant x_{n}-\varepsilon \gamma _{n}\Longrightarrow \displaystyle \lim_{M \to \infty}\sum_{n=N}^{M}\left ( x_{n+1}-x_{n} \right )\leqslant -\varepsilon \sum_{n=N}^{\infty}\gamma _{n}=-\infty\Longrightarrow \displaystyle \lim_{M \to \infty}\left ( x_{M+1}-x_{N} \right )=-\infty,

άτοπο διότι τότε

0\leqslant \displaystyle \lim_{M \to \infty}x_{M+1}=-\infty.

Επομένως

\liminf _{ n\to \infty} \left | h\left ( x_{n} \right )\right |=0

κι επειδή $x_n\rightarrow a$ , από συνέχεια της

είναι

h(x_n)\rightarrow h(a)

, οπότε

h(a)=0 \Longleftrightarrow f(a)=a.

Επομένως

x_n \rightarrow a \in \mathbb{R} \wedge f(a)=a.

Σύγκλιση ακολουθίας σε σταθερό σημείο συνάρτησης

Σύγκλιση ακολουθίας σε σταθερό σημείο συνάρτησης

Re: Σύγκλιση ακολουθίας σε σταθερό σημείο συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση