Ισότητα αθροισμάτων

KARKAR · #1

: Ισότητα αθροισμάτων.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η

είναι διχοτόμος . Βρείτε σχέση των κάθετων πλευρών του ,

η οποία συνεπάγεται την ισότητα των αθροισμάτων :

BD+AD=AB+DC

.

$\bigstar$ Είναι άσκηση τύπων και πράξεων , γι' αυτό ας την αφήσουμε για 24 ώρες στους μαθητές .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 08, 2026 9:40 am Ισότητα αθροισμάτων.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διχοτόμος . Βρείτε σχέση των κάθετων πλευρών του ,

η οποία συνεπάγεται την ισότητα των αθροισμάτων : $BD+AD=AB+DC$ .

$\bigstar$ Είναι άσκηση τύπων και πράξεων , γι' αυτό ας την αφήσουμε για 24 ώρες στους μαθητές .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 08, 2026 9:40 am Ισότητα αθροισμάτων.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διχοτόμος . Βρείτε σχέση των κάθετων πλευρών του ,

η οποία συνεπάγεται την ισότητα των αθροισμάτων : $BD+AD=AB+DC$ .

$\bigstar$ Είναι άσκηση τύπων και πράξεων , γι' αυτό ας την αφήσουμε για 24 ώρες στους μαθητές .

Μία λύση με (σχετικά) λιγότερες πράξεις.

\cos 2\theta = \frac{c}{a} \Rightarrow \cos \theta = \sqrt {\frac{{a + c}}{{2a}}} ,\sin \theta = \sqrt {\frac{{a - c}}{{2a}}}

Διαιρώ όλους τους όρους με

και η δοθείσα σχέση γράφεται:

: Ισότητα αθροισμάτων.Κ.png (8.88 KiB) Προβλήθηκε 46 φορές

\frac{1}{{\sin \theta }} + 1 = \frac{1}{{\tan \theta }} + \frac{a}{c} \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos \theta }}{{\sin \theta }} = \frac{{a - c}}{c} \Leftrightarrow \frac{{\sin \theta }}{{1 + \cos \theta }} = \frac{{a - c}}{c} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {a - c} }}{{\sqrt {2a} + \sqrt {a + c} }} = \frac{{a - c}}{c}

\frac{1}{{\sqrt {2a} + \sqrt {a + c} }} = \frac{{\sqrt {a - c} }}{c} \Leftrightarrow c = \sqrt {2a(a - c)} + \sqrt {{a^2} - {c^2}} \Leftrightarrow c - b = \sqrt {2a(a - c)}

Υψώνω στο τετράγωνο και έχω,

b^2+c^2-2bc=2(b^2+c^2)-2ac,

απ' όπου

(b+c)^2=2ac.

Υψώνω ξανά στο τετράγωνο και παίρνω την τελική σχέση

\boxed{(b+c)^4=4c^2(b^2+c^2)}

Ισότητα αθροισμάτων

Ισότητα αθροισμάτων

Re: Ισότητα αθροισμάτων

Re: Ισότητα αθροισμάτων

Μέλη σε σύνδεση