Γινομενο αποστασεων απο κορυφες τριγωνου

teo · #1

Aν Α,Β,Γ οι κορυφες τριγωνου εγγεγραμμενου σε μοναδιαιο κυκλο και Μ σημειο στο εσωτερικο του τριγωνου να δειξετε οτι (ΜΑ).(ΜΒ).(ΜΓ)< 32/27.Αν εχουμε ν-γωνο ποιο ειναι το αντιστοιχο φραγμα;

#2

Χθες τη νύχτα (υπό την επήρεια του θέματος viewtopic.php?f=50&t=8183)έστειλα την ακόλουθη απάντηση:
_____________________________________________________________________________________________________________________________________
Παίρνοντας εμβαδά βρίσκουμε ότι το εμβαδόν

του τριγώνου είναι
$E=\frac{\alpha \beta \gamma }{4R}=\frac{\alpha d_{1}+\beta d_{2}+\gamma d_{3}}{2}$

: product.png (5.6 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

'Αρα
$\alpha d_{1}+\beta d_{2}+\gamma d_{3}=\frac{\alpha \beta \gamma }{2R}$
οποτε
$\frac{\alpha d_{1}+\beta d_{2}+\gamma d_{3}}{3}=\frac{\alpha \beta \gamma }{6R}$
Από την ανισότητα του Cauchy είναι
$\root{3}\of{\alpha d_{1}\beta d_{2}\gamma d_{3}}\leq \frac{\alpha d_{1}+\beta d_{2}+\gamma d_{3}}{3}$
άρα
$\root{3}\of{\alpha d_{1}\beta d_{2}\gamma d_{3}}\leq \frac{\alpha \beta \gamma }{6R}$
ή
$\alpha d_{1}\beta d_{2}\gamma d_{3}\leq \left( \frac{\alpha \beta \gamma }{6R}\right) ^{3}$
επομένως
$d_{1}d_{2}d_{3}\leq \frac{\left( \alpha \beta \gamma \right) ^{2}}{\left( 6R\right) ^{3}}\leq \frac{\left( 2R\right) ^{6}}{\left( 6R\right) ^{3}}=\allowbreak \frac{8}{27}R^{3}\leq \frac{8}{27}$
Αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος το φράγμα είναι μικρότερο:
$d_{1}d_{2}d_{3}\leq \frac{8}{27}$
_____________________________________________________________________________________________________________________________________

Ενδεχομένως σωστή απάντηση αλλά σε άλλο ερώτημα. Μου το επεσήμανε με pm ο Μάκης Χατζόπουλος και τον ευχαριστώ.

Γράφω την απάντηση στο σωστό ερώτημα που ελπίζω να είναι σωστή:
Μιας είμαστε στον φάκελο του καθηγητή επιτρέπονται και μερικά υλικά εκτός ύλης
Ας ονομάσουμε $z_{1},z_{2},z_{3}$ τους μιγαδικούς που αντιστοιχούν στις κορυφές του τριγώνου.
'Eστω
$f\left( z\right) =\left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) \left( z-z_{3}\right)$
Θέλουμε
$\left\vert f\left( z\right) \right\vert <\frac{32}{27}$
'Εστω

ό τόπος που ορίζεται από το εσωτερικό του τριγώνου. Επειδή η f(z)

είναι αναλυτική στο $D\cup \partial D$ (δηλαδή στο

και στο σύνορο του που είναι η περίμετρος του τριγώνου) και μη σταθερή δεν θα έχει μέγιστο στο

. Aλλά θα έχει μέγιστο στο συμπαγές $D\cup \partial D$ που θα πραγματοποιείται στο $\partial D$ (αρχή μεγίστου μέτρου).
Με άλλα λόγια το γινόμενο γίνεται μέγιστο όταν το

ανήκει στην περίμετρο του τριγώνου. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι αυτό συμβαίνει όταν το

είναι κάποιο σημείο $M_{0}$ στην $B\Gamma$ .

: product1.png (7.8 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

Θα είναι
$MA\cdot MB\cdot M\Gamma <M_{0}A\cdot M_{0}B\cdot M_{0}\Gamma$
Αλλά το γινόμενο $M_{0}B\cdot M_{0}\Gamma$ είναι σταθερό και ίσο με την δύναμη του $M_{0}$ ως προς τον κύκλο που είναι $1-d^{2}$
'Αρα
$M_{0}A\cdot M_{0}B\cdot M_{0}\Gamma \leq M_{0}A\left( 1-d^{2}\right) \leq \left( 1+d\right) \left( 1-d^{2}\right) =\allowbreak \left( 1-d\right) \left( d+1\right) ^{2}$
Oρίζουμε
$g\left( d\right) =\allowbreak \left( 1-d\right) \left( d+1\right) ^{2}$ , $d\in \left[ 0,1\right]$ και έχουμε
$g^{\prime }\left( d\right) =\allowbreak -\left( d+1\right) \left( 3d-1\right)$
Επομένως η g(d)

έχει μέγιστο το
$g\left( \frac{1}{3}\right) =\allowbreak \frac{32}{27}$
και έχουμε το αποδεικτέο.
Μαυρογιάννης

teo · #3

Συμφωνω με τη λυση σας.Σε ν-γωνο το φραγμα ειναι το μεγιστο της (1-χ)*(1+χ)^(ν-1) το οποιο ειναι (2/ν)^ν *(ν-1)^(ν-1).

Γινομενο αποστασεων απο κορυφες τριγωνου

Γινομενο αποστασεων απο κορυφες τριγωνου

Re: Γινομενο αποστασεων απο κορυφες τριγωνου

Re: Γινομενο αποστασεων απο κορυφες τριγωνου

Μέλη σε σύνδεση