Ίσα γινόμενα εμβαδών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή εβδομάδα!

: Ίσα γινόμενα .png (54.91 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές

Το

είναι ρόμβος. Το $E \in AB$ και το

Z \in AC

. Οι

τέμνονται στο

Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( EAP \right )\cdot \left ( POC \right )= \left ( PAZ \right )\cdot \left ( POB \right )$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

STOPJOHN · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Δευ Οκτ 12, 2026 12:28 pm Καλή εβδομάδα!
Ίσα γινόμενα .png

Το είναι ρόμβος. Το $E \in AB$ και το $Z \in AC$ . Οι τέμνονται στο

Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( EAP \right )\cdot \left ( POC \right )= \left ( PAZ \right )\cdot \left ( POB \right )$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Έστω

EB=x,CZ=y,AB=a,\Theta H\perp AB,IJ\perp OB,PH=l,P\Theta =m,PJ=n,PI=t

θα εξετασθεί αν ισχύει

(EAP)(POC)=(PAZ)(POB)\Rightarrow \dfrac{a-x}{a-y}=\dfrac{nt}{ml}

Ισχύει

m+l=n+t=\upsilon ,\upsilon =\Theta H=IJ

Από Μενέλαο στο τρίγωνο AZB

και τέμνουσα

CPH,\dfrac{PB}{ZP}=\dfrac{ax}{y(a-x)},(1)

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

PIB,PZJ,\dfrac{ZP}{PB}=\dfrac{n}{t}=\dfrac{\upsilon -t}{t}

και λόγω της

(1),t=\dfrac{ax\upsilon }{ay+x(a-y)},(2)

Ομοίως απο Μενέλαο στο τρίγωνο ACE

και τέμνουσα BPZ

και τα όμοια ορθογώνια

τρίγωνα

PHE,C\Theta P,m=\dfrac{a\upsilon y}{ax+y(a-x)}

Απο

(2),(3),\dfrac{nt}{ml}=\dfrac{t}{m}.\dfrac{\upsilon -t}{\upsilon -m}= \dfrac{a-x}{a-y}.\dfrac{(ax+ay-ax)^{2}}{(ax+ay-ax)^{2}}=\dfrac{a-x}{a-y}

Αρα ισχύει

Καλημέρα Γιώργο

#3

Ας το δούμε και με Αναλυτική:

Θέτοντας

A=(0,a),

B=(b,0),

O=(0,-a),

C=(-b,0),

Ε=(rb, (1-r)a),

Z=(-sb, (1-s)a),

όπου

0<r<1,

0<s<1,

λαμβάνουμε τις εξισώσεις των BZ,

ως

sax+(1+s)by=sab

και

rax-(1+r)by=-rab,

αντίστοιχα. Επιλύοντας το σύστημα βρίσκουμε

P=\left(\dfrac{r-s}{1-rs}b, \dfrac{(1-r)(1-s)}{1-rs}a\right),

οπότε προκύπτουν οι εξής αποστάσεις του

από τις πλευρές του ρόμβου:

-- από

(εξίσωση

ax-by+ab=0

):

\dfrac{2r(1-s)ab}{(1-rs)\sqrt{a^2+b^2}}

-- από

(εξίσωση

):

\dfrac{2s(1-r)ab}{(1-rs)\sqrt{a^2+b^2}}

-- από

(εξίσωση

ax-by-ab=0

):

\dfrac{2(1-r)ab}{(1-rs)\sqrt{a^2+b^2}}

-- από

(εξίσωση

ax+by+ab=0

):

\dfrac{2(1-s)ab}{(1-rs)\sqrt{a^2+b^2}}

Είναι πλέον γνωστά τα ύψη των τριγώνων

PAZ,

PAE,

POB,

POC,

ενώ εύκολα υπολογίζονται και οι βάσεις τους,

AZ=s\sqrt{a^2+b^2},

AE=r\sqrt{a^2+b^2},

BO=\sqrt{a^2+b^2},

OC=\sqrt{a^2+b^2}.

Τα εμβαδά τους είναι λοιπόν

(PAZ)=\dfrac{rs(1-s)ab}{1-rs},

(PAE)=\dfrac{rs(1-r)ab}{1-rs},

(POB)=\dfrac{(1-r)ab}{1-rs},

(POC)=\dfrac{(1-s)ab}{1-rs},

και η ζητούμενη ισότητα γινομένων εμβαδών είναι άμεση.

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Το είναι ρόμβος. Το $E \in AB$ και το $Z \in AC$ . Οι τέμνονται στο
Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( EAP \right )\cdot \left ( POC \right )= \left ( PAZ \right )\cdot \left ( POB \right )$

Θα αποδειχθεί ότι ισχύει

\boxed{(PAE)(POC)=(PAZ)(POB)} \ \ ,(1)

$\bullet$ Φέρνουμε τις δια του σημείου

παράλληλες ευθείες προς τις $AB,\ AC,$ οι οποίες τέμνουν τις $AC,\ AB$ στα σημεία έστω $K,\ L,$ αντιστοίχως.

Ισχύει

(PAE)=(EAK) \ \ ,(2)

και

(POC)=(OCK)=(BCK) \ \ ,(3)

και

(PAZ)=(ZAL) \ \ ,(4)

και

(POB)=(OBL)=(CBL) \ \ ,(5)

Από $(2),\ (3),\ (4),\ (5)$ για να ισχύει η (1)

αρκεί να αποδειχθεί

(EAK)(BCK)=(ZAL)(CBL) \ \ ,(6)

: Ίσα γινόμενα εμβαδών.; t=79981.PNG (27.32 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές

$\bullet$ Από (6)

αρκεί

\dfrac{(AK)(ES)}{2}\cdot \dfrac{(CK)(BT)}{2}=\dfrac{(AL)(ZX)}{2}\cdot \dfrac{(BL)(CY)}{2} \ \ ,(7)

όπου $X,\ Y,$ είναι οι προβολές των

Z,\ C

αντιστοίχως επί της

και $S,\ T,$ είναι οι προβολές των $E,\ B$ αντιστοίχως επί της AC.

Από

και

BT=CY

αρκεί να αποδειχθεί ότι

(AK)(ES)(CK)=(AL)(ZX)(BL)

αρκεί

\dfrac{(AK)(ES)}{BL}=\dfrac{(AL)(ZX)}{CK} \ \ ,(8)

Από

αρκεί

\dfrac{(PL)(ES)}{BL}=\dfrac{(PK)(ZX)}{CK} \ \ ,(9)

λόγω

AK=PL

και

AL=PK

Από

και

\dfrac{PL}{BL}=\dfrac{AZ}{AB}

και

\dfrac{PK}{CK}=\dfrac{AE}{AC}

αρκεί

\boxed{(AZ)(ES)=(AE)(ZX)} \ \ ,(10)

λόγω

Η

όμως αληθεύει στο τρίγωνο $\vartriangle AEZ.$

Συμπεραίνεται έτσι, ότι αληθεύει και η (1)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα σε όλους!
Ευχαριστώ θερμά τους Γιάννη, Γιώργο και Κώστα !

Η προσέγγισή μου που είναι συνάμα το σκεπτικό για την δημιουργία του παρόντος.

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Δευ Οκτ 12, 2026 12:28 pm Το είναι ρόμβος. Το $E \in AB$ και το $Z \in AC$ . Οι τέμνονται στο
Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( EAP \right )\cdot \left ( POC \right )= \left ( PAZ \right )\cdot \left ( POB \right )$

Σύμφωνα με αυτό , #4 έχουμε $\dfrac {(PAE)} {(PAZ)}=\dfrac{BE}{CZ}$ και από το θέμα ΤΟΥΤΟ , #9,παίρνουμε $\dfrac {PM} {PN}=\dfrac{BE}{CZ}$ .

Έθεσα το ρόμβο ώστε ο λόγος των εμβαδών των τριγώνων να ισούται με το λόγο των υψών : $\dfrac {(POB)} {(POC)}=\dfrac{PM}{PN}$ .

Προκύπτει έτσι αναλογία εμβαδών και με χιαστί τα ίσα γινόμενα που ήταν το ζητούμενο..

Ίσα γινόμενα εμβαδών

Ίσα γινόμενα εμβαδών

Re: Ίσα γινόμενα εμβαδών

Re: Ίσα γινόμενα εμβαδών

Re: Ίσα γινόμενα εμβαδών

Re: Ίσα γινόμενα εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση