Διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, και εγώ δεν ξέρω πόσοι

#1

.
α) Δείξτε ότι ο

2025^{2026}

γράφεται ως άθροισμα 2025

διαδοχικών φυσικών αριθμών.

β) (Γενίκευση) Δείξτε ότι ο

(2k+1)^N(2m+1)^N(2n+1)^N

γράφεται ως άθροισμα

(2k+1)(2m+1)(2n+1)

διαδοχικών φυσικών αριθμών.

(Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας)

Fotis34 · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 10:50 pm .
α) Δείξτε ότι ο $2025^{2026}$ γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών.

β) (Γενίκευση) Δείξτε ότι ο $(2k+1)^N(2m+1)^N(2n+1)^N$ γράφεται ως άθροισμα $(2k+1)(2m+1)(2n+1)$ διαδοχικών φυσικών αριθμών.

(Aς την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας)

(α) ερώτημα:

Θεωρούμε τους 2025 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς

2025^{2025}-1012,\ldots,2025^{2025}, \ldots,2025^{2025}+1012.

Το άθροισμά τους είναι

S=2025\cdot2025^{2025}=2025^{2026}.

Άρα ο

2025^{2026}

γράφεται ως άθροισμα
2025 διαδοχικών φυσικών αριθμών.

(β) ερώτημα:

Θέτουμε

p=(2k+1)(2m+1)(2n+1).

Επειδή ο

είναι περιττός, θεωρούμε τους

διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς

p^{N-1}-\frac{p-1}{2},\ldots,p^{N-1}, \ldots,p^{N-1}+\frac{p-1}{2}.

Το άθροισμά τους είναι

S=p\cdot p^{N-1}=p^N.

Επομένως,

\boxed{ (2k+1)^N(2m+1)^N(2n+1)^N }

γράφεται ως άθροισμα

\boxed{(2k+1)(2m+1)(2n+1)}

διαδοχικών φυσικών αριθμών.

Διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, και εγώ δεν ξέρω πόσοι

Διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, και εγώ δεν ξέρω πόσοι

Re: Διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί, και εγώ δεν ξέρω πόσοι

Μέλη σε σύνδεση